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§01 教程规划
1.1 背景介绍
针对于信号与系统分析 课程学习的同学，由于之前没有先修过课程复变函数 ，则会在后面信号与系统理论学习中缺少复变函数相关理论支持。为了帮助这部分同学及时补充上复变函数相关理论，本文整理在信号与系统分析课程中所需要的复变函数相关内容，形成学习资料。
1.1.1 学习材料特点
这次整理的“信号与系统中的复变函数”学习材料，主要特点包括：
- 学习内容参照工程数学中复变函数课程体系框架，复合对复变函数零基础学习同学需求；
- 围绕信号与系统分析课程中所需要的复变函数相关内容进行系统整理，简化和去除了一些相关性不大的内容和练习；
- 对于每个主题，特别安排了“信号与系统”章节，介绍复变函数在信号与系统学习体系中的应用。通过这个章节，增加学习针对性，提高课程学习的兴趣。
- 安排有基础练习和软件编程作业。一方面巩固基本概念，另外一方面提高工程应用和编程实战能力。
- 对于综合话题和作业分析，制作相应的短视频，提高内容表达、传递效率，激发知识重构活力。
1.2 内容框架
1.2.1 复变函数内容框架
针对在“信号与系统分析”课程中所涉到复数、复变函数等相关内容，按照工程数学“复变函数”的内容安排，内容划分为五个章节：
- 复数与复变函数
- 解析函数
- 复变函数的积分
- 级数
- 留数
复变函数 教材参考书：
- 西安交通大学高等数学教研室，复变函数（第四版）高等教育出版社
- 王锦森编，复变函数（第四版）学习辅导与习题选解，高等教育出版社
▲ 图1.2.1 复变函数中的数学原理与习题教科书来源
1.2.2 学习资料形式和结构
学习资料呈现形式包括两部分：
- Markdown文章：对于复变函数中数学原理、应用举例、与信号与系统关系以及作业习题内容的静态呈现。 资料 一方面被整理成PDF供下载阅读，一方面可以直接在CSDN现在阅读；
- MOOC课程视频：选择综合性、开发性、应用性、辅导性强的话题录制相应短视频。通过动态形象视频讲解形式，提高内容传递效率，提升讨论质疑效果，适应不同学生学习习惯；
在内容呈现结构上，遵循“APPLE”的模式进行整理。这部分内容可以参见 APPLE 知识模块初步设计 。
▲ 图1.2.2 APPLE知识模块
每一个内容主题包括五个部分：
- 问题提出：（Ask）通过一个问题（表现在文章名称和后面的解释）引出文章讨论主题；
- 数学原理：（Principle）给出问题所需要的数学原理、理论基础等；
- 应用举例：（Practice）通过简明举例说明原理的基本应用；
- 课程联系：（Linkage）讨论当前的话题在信号与系统课程中联系和应用；
- 作业练习：（Exercise）给出进一步作业练习、编程实验以及基本的工程实践。
§02 复变函数
本文网络链接：
- 信号与系统分析中的复变函数
- SS-CA-APPLE：为什么需要在信号与系统分析中引入“复变函数”？
2.1 复数与复变函数
- SS-CA-APPLE：什么是复数？如何进行复数四则运算？
- SS-CA-APPLE：如何使用几何表示复数？
- SS-CA-APPLE：如何求取复数的乘幂与方根？
- SS-CA-APPLE：怎么定义复平面上的区域和曲线？
- SS-CA-APPLE：什么是复变函数？
- SS-CA-APPLE：如何定义复变函数的极限和连续性？
2.2 解析函数
- SS-CA-APPLE：什么是解析函数？
- SS-CA-APPLE：如何把初等函数扩展到复变函数？
2.3 复变函数的积分
- SS-CA-APPLE：如何对复变函数进行积分？
- SS-CA-APPLE：什么是复变函数积分中的复合闭路定理？
- SS-CA-APPLE：什么是柯西积分公式？
2.4 级数
- SS-CA-APPLE：什么是复数项级数？如何判断级数收敛？
- SS-CA-APPLE：什么是复数项幂级数？
- SS-CA-APPLE：什么是复数项泰勒级数？
- SS-CA-APPLE：什么是洛朗级数？
2.5 留数
- SS-CA-APPLE：什么是复变函数中的孤立奇点？
- SS-CA-APPLE：什么是留数以及留数定理？
- SS-CA-APPLE：如何应用留数定理求定积分？
