matlab在复变函数与积分变换的应用
本科毕业论文题目： MATLAB在复变函数与积分变换的应用 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2009级班 姓名： 指导教师： 职称： 副教授 完成日期： 2013 年 05 月 10 日MATLAB在复变函数与积分变换的应用 摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该 课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学 科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展 开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等 几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养 学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软 件进行数据处理有很大帮助. 关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换目 录 1 引言……………………………………………………………………………(1) 2 复常数的运算……………………………………………………………………(1)2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数……………………………(1)2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根………………(2) 3 泰勒级数的展开…………………………………………………………………(3) 4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开……………………………(4)4.1 留数计算及积分计算………………………………………………………(4)4.2 有理函数的部分分式展开…………………………………………………(5) 5 Fourier变换及其逆变换…………………………………………………………(6) 6 Laplace换变换及其逆变换………………………………………………………(8) 7 复变函数图形绘制………………………………………………………………(9) 参考文 献……………………………………………………………………………(10)0 1 引言 复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同 时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会 感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难 理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算 能力、实践能力就相当重要. 在国际学术界,MATLAB已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可 以直接在Command Window内输入执行命令，或者可以建立一个M文件，输入较 大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB语言是基于最为流行的 C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简 单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用. 并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行 MATLAB的重要原因. 本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB结合起来，把复杂的计算 交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担， 缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量. 2 复常数的运算 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB中的求解格式为： real(x) %回车x的实部 imag(x) %回车x的虚部 abs(x) %回车x的模 angle(x) %回车x的幅角 conj(x) %回车x的共轭复数例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数.(1) (2) (3) i 7 4 5 5 2 3 i e 5 7 3 7 i i解：在编辑器中建立M文件001.m如下： at rat X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]1 re=real(X) im=imag(X) ab=abs(X) an=angle(X) co=conj(X) 运行结果如下： Z = 5/4 + 7i 305/329 + 2565/899i 7765/1343 - 561/1490i re = 5/4 305/329 7765/1343 im = 7 2565/899 -561/1490 ab = 2055/289 3 4305/743 an = 283/203 142/113 -82/1261 co = 5/4-7i 305/329- 2565/899i 7765/1343+561/1490i 2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根在MATLAB中，两个复数之间的乘法、除法可以使用“*” 、 “/”来实现，求复 方程的解使用solve(’f(x)=0’)来实现.例2 (1) a= b= + 计算a*b. i 5 1 2 i 5 3 i i 4 2 3 (2) +5=0求所有根. 3 x解:在命令窗口中输入如下： >> a=2/(1+5i); >> b=3/5i+3i/(2+4i); >> c=a*b c=-0.0692 - 0.2538i >> solve( x^3+5=0 ) ans=-5^(1/3) 5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 + 1/2) -5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 - 1/2)2 3 泰勒级数的展开定理1 (泰勒展开定理) 设 在区域 内解析， , 为 到D的 ) (x f D D x 0 R 0 x 边界上各点的最短距离 当 时， 为 在 处的 R x x 0 0 0 ) ( ) ( n n n x x c x f ) (x f 0 x 泰勒级数. 其中： = =0，1，2，……… n c ! 1 n f n 0 x n用函数taylor来实现泰勒级数的展开，taylortool可以进行泰勒级数逼近 分析.例3 求函数 在x=0的泰勒展开式的6次幂多项式和16次幂多项式， x e x f ) ( 并分别进行泰勒级数逼近分析.解：在命令窗口中输入： >> clear >> syms x >> f=exp(-x); >> T1=taylor(f,7)T1 = x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1 >> T2=taylor(f,17)T2 = x^16/20922789888000 - x^15/13076743
