（一）实例：使用ID3算法给出“好苹果”的决策树

（二）决策树的工作原理
我们在做决策树的时候，会经历两个阶段：构造和剪枝。

构造原理——构造的过程就是选择什么属性作为节点的过程，构造过程中，存在三种节点：
1、根节点：就是树的最顶端，最开始的那个节点；
2、内部节点：就是树中间的那些节点；
3、叶节点：就是树最底部的节点，也就是决策结果。
因此，在构造过程中，我们要解决三个问题：
1、选择哪个属性作为根节点？
2、选择哪些属性作为子节点？
3、什么时候停止并得到目标状态，即叶节点。

剪枝原理——剪枝就是给决策树瘦身，这一步想实现的目标就是，不需要太多的判断，同样可以得到不错的结果。之所以这么做，是为了防止“过拟合”（Overfitting）现象的发生。

“过拟合”是指模型的训练结果“太好了”，以至于在实际应用的过程中，会存在“死板”的情况，导致分类错误。欠拟合，和过拟合就好比是下面这张图中的第一个和第三个情况一样。

剪枝的具体方法有预剪枝和后剪枝两种。

预剪枝：是在决策树构造时就进行剪枝。

方法是：在构造的过程中对节点进行评估，如果对某个节点进行划分，在验证集中不能带来准确性的提升，那么对这个节点进行划分就没有意义，这时就会把当前节点作为叶节点，不对其进行划分。

后剪枝就是在生成决策树之后再进行剪枝，通常会从决策树的叶节点开始，逐层向上对每个节点进行评估。如果剪掉这个节点子树，与保留该节点子树在分类准确性上差别不大，或者剪掉该节点子树，能在验证集中带来准确性的提升，那么就可以把该节点子树进行剪枝。

方法是：用这个节点子树的叶子节点来替代该节点，类标记为这个节点子树中最频繁的那个类。

（三）实战

纯度：你可以把决策树的构造过程理解成为寻找纯净划分的过程。数学上，我们可以用纯度来表示，纯度换一种方式来解释就是让目标变量的分歧最小。
信息熵：表示了信息的不确定度，当不确定性越大时，它所包含的信息量也就越大，信息熵也就越高。p(i|t) 代表了节点 t 为分类 i 的概率。

两者之间的关系：信息熵越大，纯度越低。当集合中的所有样本均匀混合时，信息熵最大，纯度最低。

我们在构造决策树的时候，会基于纯度来构建。而经典的 “不纯度”的指标有三种，分别是信息增益（ID3 算法）、信息增益率（C4.5 算法）以及基尼指数（Cart 算法）。

ID3 算法计算的是信息增益，信息增益指的就是划分可以带来纯度的提高，信息熵的下降。它的计算公式，是父亲节点的信息熵减去所有子节点的信息熵。在计算的过程中，我们会计算每个子节点的归一化信息熵，即按照每个子节点在父节点中出现的概率，来计算这些子节点的信息熵。所以信息增益的公式可以表示为：

公式中 D 是父亲节点，Di 是子节点，Gain(D,a) 中的 a 作为 D 节点的属性选择。
分析步骤：
（1）将苹果红不红作为属性划分，即表示为Gain(D,是否红)，会有两个叶子节点D1,D2，分别对应的是红和不红。我们用+代表是个好苹果，-代表不是个好苹果，那么
D1(红)={1+，2+}
D2(不红) ={3-，4-}
计算根节点的信息熵及这两个叶子节点的信息熵：

因为 D1 有 2 个记录，D2 有 2 个记录，所以 D 中的记录一共是 2+2=4，即总数为 4。所以 D1 在 D（父节点）中的概率是 1/2，D2 在父节点的概率是 1/2。那么作为子节点的归一化信息熵 = 1/2x0+1/2x0=0。
因为我们用 ID3 中的信息增益来构造决策树，所以要计算每个节点的信息增益。
是否红作为属性节点的信息增益为，Gain(D , 是否红)=1-0=1。
（2）同理，将苹果大不大作为属性划分，即表示为Gain(D,是否大)，会有两个叶子节点D1,D2，分别对应的是大和不大。我们用+代表是个好苹果，-代表不是个好苹果，那么
D1(大)={1+，3-}
D2(不大) ={2+，4-}
计算根节点的信息熵及这两个叶子节点的信息熵：

因为 D1 有 2 个记录，D2 有 2 个记录，所以 D 中的记录一共是 2+2=4，即总数为 4。所以 D1 在 D（父节点）中的概率是 1/2，D2 在父节点的概率是 1/2。那么作为子节点的归一化信息熵 = 1/2x1+1/2x1=1。
是否大作为属性节点的信息增益为，Gain(D , 是否大)=1-1=0。
我们能看出来是否红作为属性的信息增益最大。因为 ID3 就是要将信息增益最大的节点作为父节点，这样可以得到纯度高的决策树，所以我们将是否红作为根节点。接着，我们将是否大作为节点的属性划分，其决策树状图分裂为下图所示：

综上所述，我们可以得到结论，是否红作为最优属性，红的就是好苹果，不红就不是好苹果。

（四）ID3和C4.5算法的优缺点

ID3
优点：方法简单
缺点：对噪声比较敏感，训练集如果有少量错误，可能会导致决策树的分类错误
C4.5
优点：在ID3算法的基础上进行改进，解决了噪声敏感问题，并且可以对决策树进行剪枝，处理连续数值和数值缺失情况
缺点：由于需要对数据集进行多次扫描，效率较低

（五）CART，一棵是回归树，另一棵是分类树

CART 算法，英文全称叫做 Classification And Regression Tree，中文叫做分类回归树。ID3 和 C4.5 算法可以生成二叉树或多叉树，而 CART 只支持二叉树。同时 CART 决策树比较特殊，既可以作分类树，又可以作回归树。

ID3 是基于信息增益做判断，C4.5 在 ID3 的基础上做了改进，提出了信息增益率的概念。实际上 CART 分类树与 C4.5 算法类似，只是属性选择的指标采用的是基尼系数。基尼系数本身反应了样本的不确定度。当基尼系数越小的时候，说明样本之间的差异性小，不确定程度低。分类的过程本身是一个不确定度降低的过程，即纯度的提升过程。所以 CART 算法在构造分类树的时候，会选择基尼系数最小的属性作为属性的划分。
假设 t 为节点，那么该节点的 GINI 系数的计算公式为：

这里 p(Ck|t) 表示节点 t 属于类别 Ck 的概率，节点 t 的基尼系数为 1 减去各类别 Ck 概率平方和。

如何使用CART算法创建分类树？

在 Python 的 sklearn 中，如果我们想要创建 CART 分类树，可以直接使用 DecisionTreeClassifier 这个类。创建这个类的时候，默认情况下 criterion 这个参数等于 gini，也就是按照基尼系数来选择属性划分，即默认采用的是 CART 分类树。

# encoding=utf-8
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.datasets import load_iris
# 准备数据集
iris=load_iris()
# 获取特征集和分类标识
features = iris.data
labels = iris.target
# 随机抽取33%的数据作为测试集，其余为训练集
train_features, test_features, train_labels, test_labels = train_test_split(features, labels, test_size=0.33, random_state=0)
# 创建CART分类树
clf = DecisionTreeClassifier(criterion='gini')
# 拟合构造CART分类树
clf = clf.fit(train_features, train_labels)
# 用CART分类树做预测
test_predict = clf.predict(test_features)
# 预测结果与测试集结果作比对
score = accuracy_score(test_labels, test_predict)
print("CART分类树准确率 %.4lf" % score)

运行结果：

CART分类树准确率 0.9600

CART 决策树，它是一棵决策二叉树，既可以做分类树，也可以做回归树。作为分类树，CART 采用基尼系数作为节点划分的依据，得到的是离散的结果，也就是分类结果；作为回归树，CART 可以采用最小绝对偏差（LAD），或者最小二乘偏差（LSD）作为节点划分的依据，得到的是连续值，即回归预测结果。

如何使用CART回归树做预测？

# encoding=utf-8
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.metrics import r2_score,mean_absolute_error,mean_squared_error
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
# 准备数据集
boston=load_boston()
# 探索数据
print(boston.feature_names)
# 获取特征集和房价
features = boston.data
prices = boston.target
# 随机抽取33%的数据作为测试集，其余为训练集
train_features, test_features, train_price, test_price = train_test_split(features, prices, test_size=0.33)
# 创建CART回归树
dtr=DecisionTreeRegressor()
# 拟合构造CART回归树
dtr.fit(train_features, train_price)
# 预测测试集中的房价
predict_price = dtr.predict(test_features)
# 测试集的结果评价
print('回归树二乘偏差均值:', mean_squared_error(test_price, predict_price))
print('回归树绝对值偏差均值:', mean_absolute_error(test_price, predict_price)) 

运行结果：

['CRIM' 'ZN' 'INDUS' 'CHAS' 'NOX' 'RM' 'AGE' 'DIS' 'RAD' 'TAX' 'PTRATIO' 'B' 'LSTAT']
回归树二乘偏差均值: 27.082275449101797
回归树绝对值偏差均值: 3.396407185628743

最后我们来整理下三种决策树之间在属性选择标准上的差异：

ID3 算法，基于信息增益做判断；
C4.5 算法，基于信息增益率做判断；
CART 算法，分类树是基于基尼系数做判断。回归树是基于偏差做判断。