数学建模--30+种常用算法模型

全国大学生数学建模竞赛中，常见的算法模型有以下30种：

1.线性规划模型：用于寻找最优解的数学模型。

线性规划（Linear Programming，简称 LP）是一种运筹学方法，用于在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。其数学模型可以表示为：

Maximize (or Minimize) c₁x₁ + c₂x₂ + … + cnxn subject to a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁nxn ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂nxn ≤ b₂ … am₁x₁ + am₂x₂ + … + amnxn ≤ bm x₁, x₂, …, xn ≥ 0

其中，c₁，c₂，…，cn 为目标函数的系数，x₁，x₂，…，xn 为变量，aᵢⱼ 为系数，bᵢ 为常量，n 为变量的数量，m 为约束条件的数量。这个模型可以表示为一个 n 维空间中的凸多面体。

线性规划有两种基本问题类型，即最大化问题和最小化问题。最大化问题是求目标函数最大值的问题，而最小化问题则是求目标函数最小值的问题。这个问题的解可以是无解的、唯一解的或者有无限多个解。

在数学建模竞赛中，线性规划模型的应用广泛，比如在资源分配、运输优化、生产计划、投资决策等方面都可以使用线性规划模型来求解最优解。

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记 LP)则是数学规划的一个重要分支。自从 1947 年 G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义

例 1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。生产甲机床需用 A、B 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床需用 A、B、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为 A 机器 10 小时、B 机器 8 小时和C 机器 7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

这里变量 x1,x2称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

1.2 线性规划的 Matlab 标准形式

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用图解法来求解例 1。对于每一固定的值 z ，使目标函数值等于 z 的点构成的直线称为目标函数等位线，当 z 变动时，我们得到一族平行直线。对于例 1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例的最优解为 T x* = (2,6) ，最优目标值 z* = 26 。

从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：

（1）可行域 R 可能会出现多种情况。R 可能是空集也可能是非空集合，当 R 非空时，它必定是若干个半平面的交集（除非遇到空间维数的退化）。R 既可能是有界区域，也可能是无界区域。（2）在 R 非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。

（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域 R 的 “顶点”。上述论断可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间的维数。在一般的n 维空间中，满足一线性等式 ∑= = n i ai xi b 1 的点集被称为一个超平面，而满足一线性不等式 ∑= ≤ n i ai xi b 1 （或∑= ≥ n i ai xi b 1 ）的点集被称为一个半空间（其中( , , ) a1 L an 为一n 维行向量，b 为一实数）。若干个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集Φ 也被视为多胞形）。在一般n 维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n 维空间中的几何意义并不十分直观。为此，我们将采用另一途径来定义它。

2.整数规划模型：将线性规划中的变量限制为整数。

整数规划是线性规划问题的一种扩展，即在线性规划的基础上，限制变量取值只能为整数。整数规划模型是一种 NP-难问题，目前没有有效的多项式时间算法可以求解。

一般的整数规划模型可以写作如下形式：

$max$ $c^Tx$

$s.t.$ $Ax \leq b$

$x \in Z^n$

其中 $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ 为决策变量， $c=(c_1,c_2,...,c_n)$ 为目标函数系数， $A$ 为系数矩阵， $b$ 为右端向量， $Z^n$ 为整数点集。

整数规划问题在实际应用中非常广泛，例如：指派问题、旅行商问题、生产计划等。但是，由于其 NP-难的特性，常常需要借助于一些特殊的性质来求解。

常用的求解整数规划问题的方法有：

分支定界法：将问题分成多个子问题，并在每个子问题中选择一个变量作为分支变量，通过不断地对分支变量进行取整或剪枝，不断缩小可行解空间，直到找到最优解。
割平面法：在每个迭代中，加入一些不在整数点上的线性约束条件，形成一个新的松弛问题，不断进行线性规划求解，直到找到整数最优解。
混合整数线性规划：将整数规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划方法进行求解。

以上三种方法是目前比较常用的整数规划问题求解方法。同时，还有一些其他的求解方法，例如：整数拟合法、分支限界法、遗传算法等。在实际应用中，根据具体问题的特性选择合适的求解方法是非常重要的。

3.混合整数规划模型：包含线性规划和整数规划两种变量。

混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）是指在线性规划问题的基础上，还存在某些变量需要取整数值，形成的优化问题。全国大学生数学建模竞赛中常常涉及到混合整数规划模型。

混合整数规划模型的一般形式为：

$$\begin{aligned} &\min / \max f(x) \ &s.t. \left{\begin{array}{l} Ax \le b\ A_{eq} x = b_{eq} \ x \in Z^{n}_+ \ x_j \in {0,1} , \ j \in I \end{array}\right. \end{aligned}$$

其中，$f(x)$是目标函数，$x$是决策变量，$Ax \le b$和$A_{eq} x = b_{eq}$是线性约束条件，$x \in Z^{n}_+$是非负整数约束条件，$x_j \in {0,1}$是$0/1$整数约束条件。

混合整数规划模型在求解上比线性规划更为困难，需要采用特定的求解算法。常用的求解方法有分支定界法、割平面法、深度优先搜索等。

4.最小生成树模型：求加权无向连通图的最小生成树。

最小生成树是指在一张无向图中找到一棵包含所有节点的树，使得所有边的权值和最小。在全国大学生数学建模竞赛中，最小生成树常常被用来解决优化问题。

下面是最小生成树的基本算法：

Prim算法：以某个节点作为起点开始，不断扩展，每次扩展时选取当前集合到剩下节点的最小边加入集合，直到包含所有节点。
Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次加入生成树，如果加入某条边会形成环，则不加入该边。

除了上述算法，还有其他一些用于最小生成树的算法，如Boruvka算法、Huffman编码等。在实际应用中，选择不同的算法会根据具体问题的规模和特点而有所不同。

最小生成树在实际应用中有广泛的应用，如网络设计、交通运输、电力系统等领域。

5.最短路径模型：寻找两点之间最短路径。

最短路径模型是一类经典的优化问题，涉及到在图中寻找一条路径，使得该路径的长度最小。下面对最短路径模型进行详细解释。

最短路径定义在一个有向图中，从源点 s 到终点 t 的路径中，每一条边都有一个边权，称这个路径的长度为这条路径上所有边权的和，也叫做路径的权值。在这个有向图中，找到一条从源点 s 到终点 t 的路径，使得这条路径的权值最小，这个问题就被称为最短路径问题。
最短路径算法在计算机科学中，有很多算法可以用来求解最短路径问题，其中最著名的两种算法是 Dijkstra 算法和 Floyd 算法。

Dijkstra 算法： Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于解决无负权边的单源最短路径问题。它从起点开始，通过逐步扩展最短路径来逐步找到所有节点的最短路径。在每一步中，它找到距离起点最近的未标记节点，并标记该节点。然后，它计算通过该节点到达其他未标记节点的距离，并更新其距离。

Floyd 算法： Floyd 算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对的最短路径问题。它通过一个中间节点的集合来计算最短路径。具体来说，对于每个节点对 (i, j)，算法计算它们之间通过 k 的最短路径长度，其中 k 是 1 到 n 的整数。然后，通过比较 i 到 j 的直接距离和 i 到 k 加上 k 到 j 的距离，来更新 i 到 j 的最短距离。

应用场景最短路径算法在现实生活中有很多应用场景，例如导航系统中的路径规划、电信网络中的路由选择、物流配送中的路径优化等。

6.网络流模型：求解最大流或最小割问题。

网络流模型是一种常用的数学模型，用于解决一些涉及网络的问题，比如最大流、最小割、费用流等问题。以下是网络流模型的详细解释：

网络流

网络流是指在一个网络中，沿着网络中的边从源节点流向汇节点的流量。在建模过程中，我们通常会将网络抽象为一个有向图，其中每个节点代表一个网络节点，每条有向边代表两个节点之间的连接，每个边上有一个容量限制，表示该边能够通过的最大流量。

最大流

最大流问题是指在一个网络中，从源节点到汇节点的最大流量是多少。最大流问题可以通过求解最小割问题来得到答案。最小割是指将网络划分为源节点和汇节点两个部分，使得两个部分之间的边的容量之和最小，这个最小值就是最大流量。

最小割

最小割问题是指将网络划分为源节点和汇节点两个部分，使得两个部分之间的边的容量之和最小。最小割的求解可以通过最大流问题来得到答案。

费用流

费用流是指在网络流问题中，每条边都有一个费用，既要满足最大流量的限制，同时还要满足费用的限制。费用流问题可以通过建立带权图来求解。

以上是全国大学生数学建模竞赛中网络流模型的详细解释，掌握这些知识对于成功解决竞赛中的相关问题非常重要。

7.最优化模型：寻找最优解的模型，可包括线性规划、非线性规划等。

这个模型可以应用于各种领域，例如物流、供应链、金融等。以下是一些常见的最优化模型及其解决方法：

线性规划模型：该模型可以描述在一定约束条件下，如何最大化或最小化一个线性目标函数。常用的解决方法包括单纯形法、内点法、网络单纯形法等。
整数规划模型：该模型是在线性规划的基础上增加了变量必须取整数的限制条件。由于该模型的NP难度，通常使用分支定界法、割平面法等求解方法。
混合整数规划模型：该模型在整数规划的基础上，引入一些变量可以取实数的情况。求解方法包括分支定界法、割平面法、分枝定界法等。
非线性规划模型：该模型的目标函数不是线性函数，而是包含非线性项的函数。常用的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
动态规划模型：该模型适用于具有最优子结构性质的问题。采用递推思想，将问题分解为一系列的子问题，并通过比较不同的选择来确定最优解。
遗传算法模型：该模型模拟生物遗传进化过程，通过选择、交叉、变异等操作寻找问题的最优解。
模拟退火模型：该模型模拟物体在高温环境下的运动，通过模拟过程中的随机跳跃来寻找问题的最优解。
蚁群算法模型：该模型模拟蚂蚁在寻找食物时的行为规律，通过信息素的传递和蚂蚁的移动来寻找问题的最优解。
神经网络模型：该模型是由多个节点构成的网络，通过学习训练来寻找问题的最优解。常用的神经网络包括前馈神经网络、反馈神经网络、卷积神经网络等。

8.优化模型：寻找次优解的模型。

优化模型，通常指的是在一定的限制条件下，如何使某个目标函数达到最优值的问题。这些限制条件可以是约束条件，例如线性规划模型中的线性约束条件；也可以是控制条件，例如某些优化模型中需要控制某个变量的变化范围。一般来说，优化模型包含以下几个要素：

决策变量：需要优化的变量，通常是某个系统或者过程中可以调整的变量。
目标函数：需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
约束条件：对决策变量的限制条件，通常包括等式约束和不等式约束等。
可行域：决策变量的取值范围。

优化模型通常有以下几种类型：

线性规划：决策变量和目标函数都是线性的，约束条件也是线性的。
非线性规划：目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
整数规划：决策变量必须取整数值。
混合整数规划：有些决策变量可以取整数值，有些必须取实数值。
动态规划：多阶段决策问题，目标是使总收益最大。
最小生成树：在带权图中选择一棵生成树，使其边权之和最小。
最短路径：在有向图或无向图中，找到一条从源节点到目标节点的最短路径。
网络流：在网络中寻找最大流或最小割。
非线性最优化：目标函数和约束条件都是非线性的。

不同类型的优化模型有不同的解法和算法，对于每一种模型，需要选择适当的方法来求解最优解。

9.动态规划模型：利用递推关系求解最优解问题。

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种将原问题划分为多个子问题求解的思想，可以用来解决一些重复计算的问题，通过将计算结果保存下来，避免重复计算，提高了算法的效率。

在全国大学生数学建模竞赛中，动态规划模型是常用的一种模型之一，常见的问题类型包括最优化问题、路径问题、序列问题等等。下面分别介绍这些问题类型的动态规划模型。

最优化问题最优化问题是动态规划模型中最为常见的问题类型之一。通常情况下，最优化问题都具有以下两个特点：

具有最优子结构：原问题的最优解包含子问题的最优解。
具有无后效性：子问题的解只与子问题有关，与其他问题无关。

以背包问题为例，其动态规划模型如下：

状态定义：设 $f[i][j]$ 表示将前 $i$ 件物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值。
状态转移方程：对于第 $i$ 件物品，有两种情况：
- 不放入背包，此时最大价值为 $f[i-1][j]$；
- 放入背包，此时最大价值为 $f[i-1][j-w[i]]+v[i]$，其中 $w[i]$ 表示第 $i$ 件物品的重量，$v[i]$ 表示第 $i$ 件物品的价值。
- 最终答案为 $\max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]}$。

路径问题路径问题也是动态规划模型中的一个重要问题类型。在路径问题中，我们需要在一个有向图中寻找一条满足一定条件的路径，通常情况下这个条件是路径的最优性。

以最短路径问题为例，其动态规划模型如下：

状态定义：设 $f[i][j]$ 表示从起点到节点 $i$ 的最短路径长度。
状态转移方程：对于节点 $i$ 的每个入边 $(k, i)$，有 $f[i] = \min{f[k]+w(k,i)}$，其中 $w(k,i)$ 表示边 $(k,i)$ 的权值。
最终答案为 $f[n]$，其中 $n$ 表示终点。