如何理解矩阵特征值的意义？
毕业多年，曾经有同事问我该如何理解特征值的意义？
当时，实在羞愧，我一学数学的，真不知该如何回答。
极力回想，也只能以“特征值的求法、步骤…bla…bla…”应付了事，
答非所问，简直了得！
这样的答案教科书里写得清清楚楚，网上Google/百度一大堆，
人家问的是意义，如何理解其意义？
直扣灵魂，
我真的曾经理解过它的意义吗？？？
招了吧，真没有！
原在数学系时，教室里，对着黑板一堆密密麻麻的公式，我也是时常神游天外的主…
考试前，为了避免挂科才熬夜突击，对着书本一一比划，至少要演算两到三张稿纸，才能勉强记住方法、步骤，哪还管得着它的意义？
这种突击式的训练记忆，忘得也快，就像写代码一样，过一阵就忘了！
课堂上，老师大多是照本宣科。
当年，
也许是自己知识阅历不够，很难理解其意义，
也许是努力不够，被足球耽误了。
也许是天赋所致，不能顿悟！
…
总之，确定那时我肯定是没有理解它的意义的。
不知道现在有多少学生还是一样？
在学习一些抽象的数学工具时，代换三、四步之后就不知所云了，往往只能靠记忆强撑，而这种记忆最多维持一周，年轻时可能长点，后来，说忘就忘了…。
有极少数天才，能在抽象世界里面一直转，抽啊抽，一直抽…并最终以此为业。
而大多数人（99+%），一到毕业，就尴尬，因为真的不理解其意义，
看似学了一些高深的数学知识，只会做题，不会运用，根本不理解公式指代符号的现实映射！进而职场上，其它方面训练缺失的短板逐渐显现后，囧是必然！
我想，这不单是数学教育的问题，也是其它各方面可能会尴尬的本源：
不理解意义！
好，扯远了，回到正题，来看灵魂之问：
如何理解特征值的意义？
最近才有些感悟，和大家分享一下。
说到特征值 λ \lambda λ，数学上，基本上是指矩阵的特征值。
说到矩阵，高等代数几乎一整本书都在讲它，最著名的数学软件叫Matlab，直译为矩阵实验室，足见其高深、复杂！
而这么复杂混乱的东西确有一个特征值， 难道不奇怪？
再说，矩阵到底有多复杂混乱？看数学公式体会一下吧：
这是一堆数，每一个数字都可以在实数域内取值（正、负、零）， m 或 n m或n m或n可以无限的延伸，联想到现在的大数据，还有什么东西不能由它表示呢？如果您相信万物皆数，这儿都可以说万物皆矩阵了，万物，能不复杂？
另外，这一堆数既可以表示数据记录，还可以表示某种不知名的抽象运算（物理上叫算子），这样的数学运算，对某些对象集，确仅仅以固有的方式伸缩，且不管它是数据记录还是抽象运算，全都一样！
如此混乱复杂！ 确有本征!
这不神奇吗？
数学就是这样，抽象、高级、有理！
如果这样说感觉虚玄，那么先来看一下它精确（枯燥）的数学定义：
特征值 λ \lambda λ
设 A A A是一 n × n n \times n n×n矩阵， ξ \xi ξ是一 n n n维非零列向量，若存在一数 λ \lambda λ，使得
A ξ = λ ξ A\xi=\lambda\xi Aξ=λξ
则称 λ \lambda λ为 A A A的一个特征值， ξ \xi ξ为 A A A的属于特征值 λ \lambda λ的一个特征向量。
展开 A ξ = λ ξ A\xi=\lambda\xi Aξ=λξ，
即
[ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] [ x 1 x 2 . . . x n ] = λ [ x 1 x 2 . .
