一、实验目的

1.求矩阵的部分特征值问题具有十分重要的理论意义和应用价值；

2.掌握幂法、反幂法求矩阵的特征值和特征向量以及相应的程序设计；

3.掌握矩阵QR分解

二、实验原理

幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。设实矩阵A=[aij]n×n有一个完全的特征向量组，其特征值为λ1 ，λ2 ,…,λn,相应的特征向量为x1 ,x2 ,…,xn.已知A的主特征值是实根，且满足条件

|λ1 |>|λ2 |≥|λ3 |≥…≥|λn |

现讨论求λ1 的方法。

幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量ν0,由矩阵A构造一向量序列，称为迭代向量。由假设，ν0 可表示为

ν0 =α1 x1 +α2 x2 + … +αn xn (α≠0 ),

于是得到序列vk=Avk-1,序列νk /λ1k 越来越接近A的对应于λ1 的特征向量

三、实验内容

选取五级矩阵如下：

四、实验要求

利用幂法、反幂法求某个5阶矩阵的主特征值和特征向量，利用QR分解求一个5阶矩阵的所有特征值和特征向量

五、实验代码

幂法(Python)

#-*- coding:utf-8 -*-

importnumpy as np

defSolve(mat, max_itrs, min_delta): """

mat 表示矩阵 max_itrs 表示最大迭代次数 min_delta 表示停止迭代阈值 """

itrs_num = delta = float('inf') N =np.shape(mat)[0] #所有分量都为1的列向量

x = np.ones(shape=(N, 1)) #x = np.array([[0],[0],[1]])

while itrs_num < max_itrs and delta >min_delta: itrs_num += 1

y =np.dot(mat, x) #print(y)

m =y.max() #print("m={0}".format(m))

x = y /m print("***********第{}次迭代*************".format(itrs_num)) print("y =",y) print("m={0}".format(m)) print("x^T为