背景介绍

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列。

　　该数列指的是这样的一列数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368…

　　特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。此数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。

　　在数学上，斐波纳契数列被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*)。

　　在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着直接的应用。美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波那契数列此方面的研究成果。

斐波那契数列

　　斐波那契数列的发明者，意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。

　　列昂那多·斐波那契于1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列。设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡。问：一对兔子一年能繁殖成多少对兔子？

　　题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，为大兔子；新生的兔子不能生殖，为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子，求的是大兔子与小兔子的总和？
　　十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对

从上表看出：

　　①每月小兔对数=上月大兔对数

　　②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之

综合①②两点可得：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和　　如果用un表示第n月的大兔对数，则有un=un-1+un-2(n > 2)

　　每月大兔对数un排成数列为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

　　那么此组数列就称为斐波那契数列

END

斐波那契数列通项公式

递推公式：

　　斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*)，那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。

通项公式：
此公式又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

解法1：非数组+非递归

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,c;int main()
{a=1;b=1;for(int i=1;i<=38;i++)//38的原因是已知两个数的值 {c=a+b;//前一个值+前两个值a=b;//值位置的变换 b=c;}printf("%lld",c);return 0; 
}

解法2：数组+非递归

时间复杂度约为O（n）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];int main()
{num[1]=1;num[2]=1;for(int i=3;i<=40;i++){num[i]=num[i-1]+num[i-2];}printf("%d",num[40]);return 0;
}

解法3：非数组+递归

时间复杂度约为（2^n）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll step=0,cnt=0;int Digui(ll step)
{cnt++;if(step==1||step==2){return 1;}return Digui(step-1)+Digui(step-2);
}int main()
{Digui(40);printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt);//答案 递归次数 return 0;
}

通过cnt计算发现，进行了非常多次数的递归，原因是我们进行了重复计算

这样二叉树的结构导致进行了大量重复计算，这是我们特别不希望看到的，所以要进行记忆化

解法4：数组+递归

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];
ll step=0,cnt=0;
bool vis[maxn];
int Digui(ll step)
{cnt++;if(step==1||step==2){return 1;}if(!vis[step]){vis[step]=true;num[step]=Digui(step-1)+Digui(step-2);return num[step];}else{return num[step];}
}
int main()
{vis[1]=true;vis[2]=true;num[1]=1;num[2]=1;Digui(40);printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt); return 0;
}

这样计算次数会大大降低