题目描述：

下面的图形是著名的杨辉三角形：

在这里插入图片描述

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, ...

给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数？

输入格式:

输入一个整数 N。

输出格式:

输出一个整数代表答案。

数据范围:

对于 20% 的评测用例，
1≤N≤10；
对于所有评测用例，1≤N≤10^9。

输入样例：

6

输出样例：

13

暴力破解（四成）：

解题思路：

解决本难题的话，如果不是很了解杨辉三角的规律的话，可以用暴力混分。
想要暴力混分，得先明白杨辉三角形的最基本规的律：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 2 6 4 1

1.每行首尾都是1
2.每行数字左右对称
3.第n行的数字有n列
4.每列上的元素值 = 上一行当前列元素值 + 上一行上一列元素值

了解上述基本规律就能将杨辉三角存入二维数组中，再输出。

对于本题我采用的是一维滚动数组来更新杨辉三角的值，因为一维数组最大可以分配大概1 * 10^9左右的空间,能打印杨辉三角的最大宽度就很大了。而二维数组分配 10000*10000的空间就爆炸了。能打印杨辉三角的最大宽度就缩短了。

值得注意的是，更新一维数组的时候要从后往前更新，由于杨辉三角是具有对称性，所以不影响（从前往后更新的话，数据会被覆盖）。

用一维数组打印杨辉三角的代码如下：

import java.util.*;public class Main{public static long n = 0;public static void main(String[] args){long a[] = new long[1000000 + 1];for(int i = 0; i <= 10; i ++) {for(int j = i; j >= 0; j --) {if(j == 0 || i == j) {a[j] = 1L;System.out.print(a[j] + " ");continue;}a[j] = a[j] + a[j - 1];System.out.print(a[j] + " ");}System.out.println();}  }
}

用暴力破解本题，代码如下：

import java.util.*;public class Main{public static long n = 0;public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextLong();long a[] = new long[1000000 + 1];long sum = 0;out : for(int i = 0; i <= 1000000; i ++) {for(int j = i; j >= 0; j --) {if(j == 0 || i == j) a[j] = 1L;else a[j] = a[j] + a[j - 1];if(a[j] == n) {sum ++;System.out.println(sum);break out;}sum ++;}}}
}

上代码在官方平台能拿四成分数，虽然不多，但如果只会暴力的话这么些代码，得这些分也是可以接受的：
在这里插入图片描述

二分法破解（满分）：

思路:

要使用二分法破解本题，就要对杨辉三角形，每个位置上的元素规律都有进一步的了解。

下面直接给出结论：
在这里插入图片描述
上图可知，左边与右边对称，所以只需要研究左边即可。

上述的一半可以直接用下方的排列组合式子表示：

加一些标注如下图：

注意要求找到n第一次出现的位置：
很容易可以看到每一层 斜排 内的元素从上往下都是单调递增的，且越靠内扩张越快。所以靠内斜排 上的元素扩张的最快，所以能最快碰到第一个n。所以在二分查找的时候我们从内层往 外层 找（这样找到的 n 就是第一次出现的），由于杨辉三角扩散速度很快，所以 16 斜层 就可以包含10^9的数据。

如上图标记，我们从内往外，先找 1 层，看是否有一个 C(r , k) = n 如果有的话我们直接退出，否者继续去找 2 层…直到找到一个C(r, k) = n 再通过r, k 找到这个数是第几次出现的（用N表示）。

这里直接给出结论:N = r *(r + 1) + k + 1
（上述公式只要知道：r, k 是从 0 开示的就不难推出N）

还需要注意的是本题用long变量储存数据，出现 long >> 1 + int 类型的式子是很容易让最终结果出错的。

例如：

public class text {public static void main(String[] args) {long a = 2L;System.out.print(a >> 1 + 1);}
}

输出：
在这里插入图片描述
修改方法有两种，正确代码：

public class text {public static void main(String[] args) {long a = 2L;long b = 1L;System.out.println((long)(a >> 1) + 1L);System.out.print(a / 2 + 1);}
}

输出：

在这里插入图片描述
理论成立本题完整代码如下：

import java.util.*;public class Main{public static int n = 0;public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();//别写成int nfor(int i = 16; i >= 0; i --) if(check(i)) break;
}	  public static long C(long a, long b) {//求排列组合C(a,b)的值long res = 1;//不要写成res = 0;for(long i = a, j = 1; j <= b; j ++, i --) {res = res * i / j;if(res > n) return res;//大于n直接退出防止爆long}return res;}public static boolean check(int k) {long L = 2 * k;//C(2*k, k) ~ C(N, k)，这个区间内寻找一个C(r, k) = nlong R = n;//左右边界,C(1, n) = n,所以右边界最多是n while(L <= R) {long middle = (L + R) >> 1;//高效 除 2long nt = C(middle, k);if(nt > n) R = middle - 1;//大于查左边部分else if(nt < n) L = middle + 1;else {System.out.print((middle *(middle + 1)) / 2 + k + 1);//输出结果，再退出return true;} 	 }return false;}
}