A,B为两个长度相同的向量

求协方差

S=cov(A,B);

b和c数值上是相等的。

求相关系数

R=corrcoef(A,B)

数值上,f和g是相同到。

相关系数存在许多种类，上述corrcoef 指 pearson correlation coefficient。

性质：向量乘常数，不改变Pearson 相关系数的大小，如 corrcoef(55*A, B) 和 corrcoef(A,B) 的相关系数大小一致。

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协方差

二维随机变量（X，Y），X与Y之间的协方差定义为：

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

其中：E(X)为分量X的期望，E(Y)为分量Y的期望

协方差Cov(X,Y)是描述随机变量相互关联程度的一个特征数。从协方差的定义可以看出，它是X的偏差【X-E(X)】与Y的偏差【Y-E(Y)】的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，因此协方差也可正可负。

l 当协方差Cov(X,Y)>0时，称X与Y正相关

l 当协方差Cov(X,Y)<0时，称X与Y负相关

l 当协方差Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关

举个例子

二维随机变量（身高X，体重Y）（数据是自己编的）

	身高X（cm）	体重Y（500g）	X-E(X)	Y-E(Y)	[X-E(X)][Y-E(Y)]
1	152	92	-19.4	-39.7	770.18
2	185	162	13.6	30.3	412.08
3	169	125	-2.4	-6.7	16.08
4	172	118	0.6	-13.7	-8.22
5	174	122	2.6	-9.7	-25.22
6	168	135	-3.4	3.3	-11.22
7	180	168	8.6	36.3	312.18
	E(X) =171.4	E(Y) =131.7			E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=209.4

根据直觉我们也会想到，身高和体重是有正相关性的，身高较高的体重一般会比较大，同样体重大的身高一般也比较高。计算出来的结果也非常符合我们的直觉。

再来举一个反例

二维随机变量（玩游戏的时间X，学习成绩Y）（数据是自己编的）

	游戏时间X（h/天）	学习成绩Y	X-E(X)	Y-E(Y)	[X-E(X)][Y-E(Y)]
1	0	95	-1.36	20.7	-28.152
2	1	65	-0.36	-9.3	3.348
3	3	70	1.64	-4.3	-7.052
4	2	55	0.64	-19.3	-12.352
5	2.5	65	1.14	-9.3	-10.602
6	0.5	80	-0.86	5.7	-4.902
7	0.5	90	-0.86	15.7	-13.502
	E(X) =1.36	E(Y) =74.3			E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= -10.5

同样根据直觉我们也会觉得，小朋友玩游戏的时间越长，学习成绩越差的可能性就越大，计算结果也很好的符合我们的直觉。

从上面两幅散点图上大约可以看出体重随身高的变化趋势，以及学习成绩随玩游戏时间长短的变化趋势。因此，可以说协方差是两个随机变量具有相同变化趋势的度量。

但是，协方差仅能进行定性的分析，并不能进行定量的分析，比如身高体重之间的协方差为209.1，它们之间的相关性具体有多大呢，协方差并没有给出定量的判断标准。因此我们引出相关系数的概念。

相关系数

想用MATLAB中的corrcoef函数求两个向量的相关系数。

比如A=[1 2 3];B=[5 3 7]; r= corrcoef(A,B)可以求出相关系数是0.5.为什么两个向量的元素都要是3个以上才行？而只有两个元素的向量如A=[1 2];B=[5 3];不管怎么随机的取，相关系数都是1或-1啊？只含两个元素的向量，都一定相关吗？

这是求相关度的结果，对于一般的矩阵X，执行A=corrcoef(X)后，A中每个值的所在行a和列b，反应的是原矩阵X中相应的第a个列向量和第b个列向量的相似程度（即相关系数）。计算公式是：C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2))，其中C表示矩阵[f,g]的协方差矩阵，假设f和g都是列向量（这两个序列的长度必须一样才能参与运算），则得到的（我们感兴趣的部分）是一个数。以默认的A=corrcoef(f,g)为例，输出A是一个二维矩阵（对角元恒为1），我们感兴趣的f和g的相关系数就存放在A(1,2)=A(2,1)上，其值在[-1,1]之间，1表示最大的正相关，-1表示绝对值最大的负相关

>> A=[1 2 3];B=[5 3 7]; r= corrcoef(A,B)

r =

1.0000 0.5000

0.5000 1.0000

>> A=[1 2];B=[5 3];

r= corrcoef(A,B)

r =

1.0000 -1.0000

-1.0000 1.0000%%-1是算出来的，不是说二维向量就一定相关，根据图中r和协方差矩阵的关系

cov(A,B)

ans =

0.5000 -1.0000

-1.0000 2.0000%%%A和B的协方差矩阵，

那么R（1,2）=C（1,2）/(sqrt（C（1,1）*C（2,2））)=-1，sqrt为开方的意思。

向左转|向右转

追问

非常感谢你的回答，真的是太详细了，我都抄在本子上了呵呵。但还是有一点不明白，
“-1是算出来的，不是说二维向量就一定相关，”什么意思？为什么任何两个二维向量计算出来的相关系数都是1或者-1？
你不是说“1表示最大的正相关，-1表示绝对值最大的负相关”吗？那么任何两个二维的向量都具有最大的正（负）相关性吗？相关系数为1，
也就是相关的。我不是学数学的，是做课题的时候发现这个问题不明白。

追答

>> A=[1 0];B=[0 1];%%二维向量，不相关cov(A,B)
ans =0.5000   -0.5000-0.5000    0.5000
A=[1 2];B=[5 10];%%二维向量，相关cov(A,B)
ans =0.5000    2.50002.5000   12.5000正相关是指两列变量变动方向相同，一列变量由大到小或由小到大变化时，另一列变量亦由大到小或由小到大变化。负相关是指两列变量变动方向相反，一列变量由大到小或由小到大变化时，另一列变量反而由小到大或由大到小变化。matlab 函数corrcoef也是根据上面的概念计算的，关于二维向量计算总得到-1或者1的问题，我仔细看了下，上面的测试两组数据，
可以看出协方差矩阵中sqrt（C（1,1）*C（2,2））=C（1,2）or-C（1,2）。
也就是说不管你怎么换数据sqrt（C（1,1）*C（2,2））=C（1,2）or-C（1,2）这个式子总是成立的，
所以我个人认为是样本数量（向量维数）少或者是这个函数的缺陷。