在老师的建议下补充一点有关量子图像加密和解密的内容。

我是一只正在不断学习、希望早日成为小白的小小白，有什么错误欢迎大家批评指正，喜欢的请点个赞哦！

量子灰度图像表示

灰度量子态图像的表达式：

$$|I(\theta )⟩=\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}|c_j⟩\otimes |j⟩$$

$$|c_j⟩=(|0⟩+e^{i{\theta }_j}|1⟩)$$

其中，${\theta }_j\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，其代表的是灰度信息对应的编码信息，$|c_j⟩$代表图像的灰度信息， $|j⟩$代表图像中像素所处的位置信息，其中$j=0,1,\cdots ,2^{2n}-1$。

编码在位置量子位 $|j⟩$上的位置信息包含垂直坐标和水平坐标：

∣ j ⟩ = ∣ y ⟩ ∣ x ⟩ = ∣ y n − 1 y n − 2 ⋯ y 0 ⟩ ∣ x n − 1 x n − 2 ⋯ x 0 ⟩ x j , y j ∈ { 0 , 1 } |j\rangle=|y\rangle|x\rangle=\left|y_{n-1} y_{n-2} \cdots y_{0}\right\rangle\left|x_{n-1} x_{n-2} \cdots x_{0}\right\rangle \quad x_{j}, y_{j} \in\{0,1\} ∣j⟩=∣y⟩∣x⟩=∣yn−1​yn−2​⋯y0​⟩∣xn−1​xn−2​⋯x0​⟩xj​,yj​∈{0,1}

要对灰度图像进行处理时，可以在 $|c_j⟩$ 上执行一个相位门 $U=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& e^{i{\psi }_j}\end{array}\right]$
为什么会进行这样的操作呢？我们继续往后看！

DRPE和量子加密与解密

双随机相位编码技术(DRPE)

假设$f(x,y)$ 是大小为 M × N 的明文图像，$\varphi (x,y)$ 是对应的密文图像，DRPE表示的加密和解密过程可分别用以下公式表示：

φ ( x , y ) = F T − 1 { F T { f ( x , y ) exp ⁡ [ j 2 π n ( x , y ) ] } exp ⁡ [ j 2 π b ( ξ , η ) ] } \varphi(x, y)=F T^{-1}\{F T\{f(x, y) \exp [j 2 \pi n(x, y)]\} \exp [j 2 \pi b(\xi, \eta)]\} φ(x,y)=FT−1{FT{f(x,y)exp[j2πn(x,y)]}exp[j2πb(ξ,η)]}

f ( x , y ) = F T − 1 { F T { φ ( x , y ) } exp ⁡ [ − j 2 π b ( ξ , η ) ] } exp ⁡ [ − j 2 π n ( x , y ) ] f(x, y)=F T^{-1}\{F T\{\varphi(x, y)\} \exp [-j 2 \pi b(\xi, \eta)]\} \exp [-j 2 \pi n(x, y)] f(x,y)=FT−1{FT{φ(x,y)}exp[−j2πb(ξ,η)]}exp[−j2πn(x,y)]

其中，$n(x,y)$ 和 $b(\xi ,\eta )$ 分别是空间域和频域中均匀分布在[0，1]上的随机相位函
数，$FT$ 和 $F{T}^{-1}$分别代表傅里叶变换和傅里叶逆变换。
步骤：
（1）先将输入图像 $f(x,y)$ 在空间域里和一个随机相位函数 $exp[j2\pi n(x,y)]$ 相乘得到变换后的图像
（2）对变换后的图像进行傅里叶变换，得到频域信号
（3）将频域信号与另一个随机相位函数$exp[j2\pi b(\mu ,\nu )]$ 相乘
（4）将得到的信息执行傅里叶逆变换，最终得到加密图像 $\varphi (x,y)$

$exp[j2\pi n(x,y)]$ 和 $exp[j2\pi b(\xi ,\eta )]$ 分别为输入图像空间域和傅里叶频谱平面上的密钥。正是因为密钥的存在，图像的安全才能得到保障。

量子图像加密

假设原始明文图像为$|O⟩=\frac{1}{2^n}{\sum }_{j=0}^{2^{2n}-1}|c_j⟩\otimes |j⟩$，空间域和量子傅里叶频域的密钥还可表示为 $U_{K_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i{\psi }_j}\end{array}\right]$ 和 $U_{K_2}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i{v}_j}\end{array}\right]$，其中${\psi }_j,v_j$ 是均匀分布在 0 到 $2\pi$ 的实数。

加密的具体步骤：
（1）利用密钥 $U_{K_1}$ 在空域中编码明文图像，得到编码后的图像|M〉

$$\begin{array}{rl}|M⟩& =K_1|\mathrm{O}⟩=U_{K_1}\otimes I_{2^{2\mathrm{n}}}|\mathrm{O}⟩\\ & =U_{K_1}\otimes I_{2^{2\mathrm{n}}}\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}|c_j⟩\otimes |j⟩\\ & =\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}{U}_{K_1}|c_j⟩\otimes |j⟩\\ & =\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}\mid }|c^{\prime }⟩\otimes |j⟩\end{array}$$

其中，$|c_j^{\prime }⟩=(|0⟩+e^{i\left({\theta }_j+{\psi }_j\right)}|1⟩)$
提问：为什么 $K_1|\mathrm{O}⟩=U_{K_1}\otimes I_{2^{2\mathrm{n}}}|\mathrm{O}⟩$，可以思考下。如果认真看了“张量网络算法基础（二、量子态、量子算符）这篇博客的小伙伴应该知道答案，没看的小伙伴可以点击链接看一下”单体算符及其运算

（2）对$|M\rangle$ 执行量子傅里叶变换（QFT）操作得到 ( $QFT|M\rangle$)

$$QFT(|M⟩)=QFT\left(\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}|c_j^{\prime }⟩\otimes |j⟩\right)$$

（3）利用密钥 $U_{K_2}$ 对 ( $QFT|M\rangle$ )进行加密，得到 $|M_1\rangle$

$$\begin{array}{rl}|M_1⟩& =K_{2}QFT(|M⟩)\\ & =U_{K_2}\otimes I_{2^{2n}}QFT(|M⟩)\\ & =U_{K_2}\otimes I_{2^{2n}}QFT\left(\frac{1}{2^{2n}}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}|c^{\prime }⟩\otimes |j⟩\right)\\ & =\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}{U}_{K_2}QFT\left(|c_j^{\prime }⟩\otimes |j⟩\right)\end{array}$$

（4）对 $|M_1\rangle$ 执行 $inQFT$ ，得到量子密文图像 $|C\rangle$

$$\begin{array}{rl}|C⟩& =\mathrm{in}QFT\left(|M_1⟩\right)\\ & =\mathrm{in}QFT\left(\frac{1}{2^n}\sum _{j=0}^{2^{2n}-1}{U}_{K_2}QFT\left(|c_j^{\prime }⟩\otimes |j⟩\right)\right)\end{array}$$

其中，$inQFT$ 的量子电路是 $QFT$ 量子电路的逆序

量子图像解密

加密靠的是密钥，自然解密过程中，只需要提供两个密钥，即相位算子 $U_{K_1}$ 和 $U_{K_2}$ 。因为量子计算中的所有变换操作都是可逆的，因此解密过程是加密过程的逆序。
解密的具体步骤：
（1）对$|C\rangle$ 执行 $QFT$ 操作，得到变换后的图像 ( $QFT|C\rangle$)

$$QFT(|C⟩)=QFT\left(inQFT\left(|M_1⟩\right)\right)=|M_1⟩$$

（2）利用 $K_2$ 对 $|M_1\rangle$ 执行解密操作

$$\begin{array}{rl}{K}_2^{-1}|M_1⟩& =U^{+}{K}_2\otimes I_{2^{2n}}|M_1⟩\\ & =U^{+}{K}_2\otimes I_{2^{2n}}{K}_{2}QFT(|M⟩)\\ & =\left(U^{+}{K}_2\otimes I_{2^{2n}}\right)\left(U_{K_2}\otimes I_{2^{2n}}\right)QFT(|M⟩)\\ & =U^{+}{K}_2{U}_{K_2}\otimes I_{2^{2n}}QFT(|M⟩)\\ & =QFT(M⟩)\end{array}$$

（3）对 ( $QFT|M\rangle$)执行 $inQFT$ 操作，得到 $|M\rangle$

$$\mathrm{inQFT}(QFT(|M⟩))=|M⟩$$

（4）利用密钥$K_1$ 对上一步中得到的 $|M\rangle$ 进行解密，得到原始图像 $|O\rangle$

$$\begin{array}{rl}{K}_1^{-1}|M⟩& =U^{+}{}_{K_1}\otimes I_{2^{2n}}|M⟩\\ & =U^{+}{}_{K_1}\otimes I_{2^{2n}}{K}_1|O⟩\\ & =\left(U^{+}{}_{K_1}\otimes I_{2^{2n}}\right)\left(U_{K_1}\otimes I_{2^{2n}}\right)|O⟩\\ & =U^{+}{}_{K_1}{U}_{K_1}\otimes I_{2^{2n}}|O⟩\\ & =|O⟩\end{array}$$

以上就是有关量子图像的加密和解密过程，开学了，近期要去忙其它事情啦！以后有时间尽量更新！

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