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第5章 多入单出的单层神经网络
5.0 多变量线性回归问题
5.0.1 提出问题
问题：在北京通州，距离通州区中心15公里的一套93平米的房子，大概是多少钱？
房价预测问题，成为了机器学习的一个入门话题，著名的波士顿的房价数据及相关的比赛已经很多了，但是美国的房子都是独栋的，前院后院停车库游泳池等等参数非常多，初学者可能理解起来有困难。我们不妨用简化版的北京通州的房价来举例，感受一下房价预测的过程。
影响北京通州房价的因素有很多，居住面积、地理位置、朝向、学区房、周边设施、建筑年份等等，其中，面积和地理位置是两个比较重要的因素。地理位置信息一般采用经纬度方式表示，但是经纬度是两个特征值，联合起来才有意义，因此，我们把它转换成了到通州区中心的距离。
我们有1000个样本，每个样本有两个特征值，一个标签值，示例如表5-1。
表5-1 样本数据
| 样本序号 | 地理位置 | 居住面积 | 价格（万元） |
|---|---|---|---|
| 1 | 10.06 | 60 | 302.86 |
| 2 | 15.47 | 74 | 393.04 |
| 3 | 18.66 | 46 | 270.67 |
| 4 | 5.20 | 77 | 450.59 |
| ... | ... | ... | ... |
- 特征值1 - 地理位置，统计得到：
- 最大值：21.96公里
- 最小值：2.02公里
- 平均值：12.13公里
- 特征值2 - 房屋面积，统计得到：
- 最大值：119平米
- 最小值：40平米
- 平均值：78.9平米
- 标签值 - 房价，单位为百万元：
- 最大值：674.37
- 最小值：181.38
- 平均值：420.64
这个数据是三维的，所以可以用两个特征值作为x和y，用标签值作为z，在xyz坐标中展示如表5-2。
表5-2 样本在三维空间的可视化
| 正向 | 侧向 |
|---|---|
 |  |
从正向看，很像一块草坪，似乎是一个平面。再从侧向看，和第4章中的直线拟合数据很像。所以，对于这种三维的线性拟合，我们可以把它想象成为拟合一个平面，这个平面会位于这块“草坪”的中位，把“草坪”分割成上下两块更薄的“草坪”，最终使得所有样本点到这个平面的距离的平方和最小。
5.0.2 多元线性回归模型
由于表中可能没有恰好符合15公里、93平米条件的数据，因此我们需要根据1000个样本值来建立一个模型，来解决预测问题。
通过图示，我们基本可以确定这个问题是个线性回归问题，而且是典型的多元线性回归，即包括两个或两个以上自变量的回归。多元线性回归的函数模型如下：
\[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k\]
具体化到房价预测问题，上面的公式可以简化成：
\[ z = x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2 + b \]
抛开本例的房价问题，对于一般的应用问题，建立多元线性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：
- 自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；
- 自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；
- 自变量之间应具有一定的互斥性，即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；
- 自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。
5.0.3 解决方案
如果用传统的数学方法解决这个问题，我们可以使用正规方程，从而可以得到数学解析解，然后再使用神经网络方式来求得近似解，从而比较两者的精度，再进一步调试神经网络的参数，达到学习的目的。
我们不妨先把两种方式在这里做一个对比，读者阅读并运行代码，得到结果后，再回到这里来仔细体会表5-3中的比较项。
表5-3 两种方法的比较
| 方法 | 正规方程 | 梯度下降 |
|---|---|---|
| 原理 | 几次矩阵运算 | 多次迭代 |
| 特殊要求 | \(X^TX\)的逆矩阵存在 | 需要确定学习率 |
| 复杂度 | \(O(n^3)\) | \(O(n^2)\) |
| 适用样本数 | \(m \lt 10000\) | \(m \ge 10000\) |
