希尔伯特变换与IQ调制解调

一、希尔伯特变换

1、从瞬时频率说起：

一个周期函数的频率是确定的， $\sin (2\pi t)$ 的频率是1hz，这是初中生就知道的道理，但现在的问题是：对于一个不规则的信号，它有频率吗？

很多人会说：这还不简单？一个不规则的信号，没有周期，怎么可能有频率嘛。

那又有新的问题：我们研究一个不规则信号时，经常会觉得一段信号会变得越来越急促，

(就像这个信号，我们明显得感觉到左半部分信号要比右边信号平缓，右边信号明显更急促一些.)

我们如何定量的描述“越来越急促”这个性质呢？

急促与舒缓是由频率描述的，但如果认为一个不规则信号，没有频率，那么如何描述一个不规则信号的急促与舒缓呢？

所以，数学家们提出了一个新的概念：瞬时频率。顾名思义，瞬时频率就是一个信号中一个点的频率。用这个概念，我们就可以定量的描述一个不规则信号的急促与舒缓的部分。

想法是美好的，但新的问题又出来了：从前的频率是周期的倒数，现在一个不规则信号，没有周期，你瞬时频率又怎么计算呢？

走到这里，我们意识到我们已经捅了一个大篓子，我们类比频率创造了一个瞬时频率的概念，但是我们发现这个非常符合我们直觉的概念，居然没办法用旧框架去解释。

这就是一百年前的数学家遇到的问题。所幸的是，也是在一百年前，伟大的数学家：大卫·希尔伯特，提出了：希尔伯特变换，帮助我们解决了这个难题。

2、希尔伯特变换

一个实函数 $f(t)$ 的希尔伯特变换是：一个实函数 $f(t)$ 与 $\frac{1}{\pi t}$ 进行卷积，用 $\overset{*} f(t)$ 表示。

$\overset{*} f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \frac{1}{\pi(t-\tau)} d\tau = f(t)*\frac{1}{\pi t}$

对 $\overset{*} f(t)$ 进行傅里叶变换，即

$F(\overset{*}f(t)) = -j \cdot sgn(w) \cdot F(f(t))$

$sgn(w) \begin{cases} 1 \qquad w>0\\ -1 \quad w<0 \end{case}$

通过傅里叶变换，我们也知道了： $\overset{*} f(t)$ 的频谱是，f(t)的频谱，左半轴乘-j，右半轴乘j。

通过复变函数的知识，我们知道，一个信号乘j或-j，是将相位滞后或提前90度。

所以我们就可以得到一个简单的结论：将一个实函数f(t)的正频率分量滞后90度，负频率分量提前90度就是f(t)的希尔伯特变换。也易知，对f(t)进行两次希尔伯特变换，会让f(t)反相。

我们可以形象地将f(t)和 $\overset{*} f(t)$ 理解为一对孪生兄弟，只要有f(t)，就一定会有相对应的 $\overset{*} f(t)$ 。

我们将f(t)和 $\overset{*} f(t)$ 成为希尔伯特变换对。

现在我们知道了希尔伯特变换的公式，但是可能会有同学要问了：这和我们要解决的瞬时频率的问题有啥关系嘞？

3、欧拉公式与解析信号

欧拉公式号称世界上最美的公式，其中也蕴含着解决瞬时频率的关键。欧拉公式：

$e^{j\theta } = \cos \theta + j\sin \theta$

第二节我们说过，“将一个实函数f(t)的正频率分量滞后90度，负频率分量提前90度就是f(t)的希尔伯特变换”。那么对于sin和cos函数来说，我们惊喜的发现： ${\color{Red} \sin \theta}$ 和 ${\color{Red} \cos \theta}$ 两者的分量正好相差90度。我们令f(t)= $\cos \theta$ ，其希尔伯特变换就是 $\sin \theta$ 。换言之， $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 是希尔伯特变换对。

停，打住。你费这么多劲证明 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 是希尔伯特变换对。然后呢，他两是希尔伯特变换对又如何呢？嘿嘿，别着急。现在咱们注意的是欧拉公式的右半部分，你可别忘了欧拉公式的左边哦。

我们对欧拉公式的左侧函数，s(t)= $e^{j\theta }$ 进行傅里叶变换以后，有趣的现象出现了：

$F(s(t))=S(t)=\begin{cases} 2F(f(t))=2F(w) \qquad w>0\\ 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad w<0 \end{case}$

s(t)= $e^{j\theta }$ 的傅里叶变换，在频谱的正半轴上是f(t)= $\cos \theta$ 的傅里叶变换的2倍（cos函数的傅里变换是在对应频率w上的值，这里用F(w)表示)；而在负半轴上为0。

换言之，由 f(t)= $\cos \theta$ 和它的希尔伯特变换对 $\overset{*} f(t)$ = $\sin \theta$ 所构成的复函数：

s(t)= $e^{j\theta } = \cos \theta + j\sin \theta$ 。在频谱上是单边的，而且傅里叶变换与f(t)几乎相同（只是一个系数2倍的关系）。

经过数学家们大量的研究，他们证明了这个性质适合所有的希尔伯特变换对组成的类似复函数。而欧拉公式，是第一个被提出具有这个性质的公式。欧拉公式的提出是在18世纪，在那时，人类就埋下了希尔伯特变换的种子。

这个由希尔伯特变换对组成的复函数，现在被称为解析信号（分析型号、复信号）s(t)。

我们发现解析信号s(t)有这样的特征：具有单边频谱，而且所有特征与组成它的实信号几乎相同（只差一个2倍系数而已）。那么新的问题来了：这有啥用鸭？

这用处可大了。因为频谱是单边的，所以我们可以随意的平移解析信号的频谱，然后通过分析解析信号的性质，就知道了原来的实信号的各种性质。

我们知道采样定理规定了采样频率至少得是信号最大频率的二倍。如果一个信号的最大频率很大（带通频率很大），那么采样频率就必须还要再大二倍，这在工程上是不可能的。但是如果我们利用解析信号，就可以直接把信号的频谱向低方向平移到0频率周围，同时不丢失实信号的任何信息。频率低了以后，再利用采样定理去采集模拟信号就变得十分容易了。

我们平时的广播，为了将信号发到尽可能远的地方，将人声信号进行高频调制，试想，如果人类不知道解析信号的知识，高频信号可能有几百Mhz，人类就只能去设计几千Mhz的ADC才能接收信号，这在工程上是不可能的，就算真的制造出来了，成本也不可能覆盖到大规模商用。所以这些知识就在我们的身边。

4、瞬时频率到底是什么

我们从瞬时频率的问题开始，说了希尔伯特变换和解析函数，现在终于要回到了最开始的问题：什么是瞬时频率？

经过了这几节的介绍，我们知道了，一切实函数f(t)都有它的孪生兄弟 $\overset{*} f(t)$ ，并且他两可以组成一个更高维度的复函数s(t)；而且这个复函数s(t)的性质与实函数f(t)几乎一致。既然它们的性质是一样的，我们能否从解析信号的维度，来定义实函数f(t)的瞬时频率呢？

当然可以，事实上，这就是当前描述瞬时频率最主流的解释：解析信号法（Analytic Signal Method）的核心思想。

现在我们要来彻底的解释瞬时频率这个东西了。首先，我们把思路翻转过来，刚刚我们一直在说用一个实函数f(t)产生解析信号s(t)，但现在，我们可以发挥我们的想象力，我们生活的现实只是一个实域，但实际上，还有一个我们观测不到的复平面域，解析信号s(t)就生活在那里，而我们平时接收到的实函数f(t)不过是它在实域的投影。

我们在实域中观测到的不规则信号，其实是一个在复平面域中不断旋转的解析信号。直观的看到这个过程。

这个动画直观的描述了我们说的过程，中间的是解析信号，它在一个由时间轴，实轴和虚轴的三维空间里快乐地运动，它在实域和虚域的投影就是我们的实信号f(t)和 $\overset{*} f(t)$ 。它在左侧复平面域的投影就是一个不断旋转的信号。而且我们惊喜地发现（以及无数数学家的验证）：s(t)在复平面域中，单位时间内旋转的（角度）相位越大，它投影在实域上（实函数f(t)）就表现为越来越急促。这样，只要我们算出来解析函数在复平面域中的相位改变速率，用它就可以表示实函数的瞬时频率。

而根据我们的高中知识，复平面内的相位角为

$\theta (t)=\arctan \frac{\overset{*} f(t)}{f(t)}$

速率就是求导，所以相位改变速率（瞬时频率）就是对相位角求导。所以瞬时频率就是：

$\omega (t)=\frac{d\theta (t)}{dt}$

当然，这是瞬时角频率（瞬时相位），再除以2π就是瞬时频率了。

5、瞬时幅值

我们已经解决了瞬时频率的问题了。但是事情并没有完，既然解析信号这么有趣，我们就接着研究一下呗，后来发现解析信号还有不得了的性质。

解析信号是复信号，如果想计算解析信号的幅值，直接计算解析信号的模长即可。同时，我们说过了，解析信号的性质与实函数相同。所以解析信号的幅值就是实信号的幅值。这样我们就又得到了实信号瞬时幅值的计算公式

$A(t)=||s(t)||=\sqrt[]{f(t)^2+\overset{*} f(t)^2}$

（我这里写的是二范数的形式，有的书上直接用了绝对值形式 $|s(t)|$ 也是对的，因为复函数的绝对值计算就是二范数的计算）

求瞬时幅值的过程，在有些书上叫做取包络，一个东西。

6、总结

到这里，我们总算是弄明白了一切，我们知道了希尔伯特变换和解析信号，并且利用他们推出了瞬时频率和瞬时幅值的表达式。有了它们，即使面对一个不规则信号，我们也有底气去分析它。

二、IQ调制与解调

解析信号广泛应用在信号通信方面，接下来我们要介绍它最广泛也是最重要的应用：IQ调制与解调。可以不客气的说，没有IQ调制解调，4G、5G都是绝对不可能实现的东西。

通信中，必须使用高频正弦波作为载波发射有用的信息（有用的信息叫做调制波），这个过程叫做信号调制，调制后的信号成为已调波。因为高频信号带宽高，这样可以保证要发送的信息不会因为载波带宽不够而出现失真。而且，只有当雷达尺寸与信号波长相似时，信号才能被更好地接收，根据光的波长公式，我们知道只有频率越大，才能让光的波长小到与雷达类似。

1、从发送信号说起：

既然解析信号这么牛逼，通信工程师很自然地想到：我从前不懂这个知识，只会傻乎乎的发射一个实信号，效率不高计算还麻烦。我现在直接发射一个实信号f(t)和它的希尔伯特变换对 $\overset{*} f(t)$ （其实就是一个解析信号的实部和虚部）。这样接收过去以后，直接做几个简单计算不就知道这个实信号的瞬时幅度和瞬时频率（相位）了吗。想到这里，通信工程师高兴坏了。

但硬件工程师碰巧听到了这个消息，这一下，硬件工程师们坐不住了。通信是模拟域的事情，所以必须制造一个模拟器件能够得到任何一个信号的希尔伯特变换对，我们知道希尔伯特变换就是移相90度，移相器本来就很麻烦，现在还要对任何一个信号都移相。硬件工程师头都大了。

听到硬件工程师的反馈，通信工程师意识到他高兴地太早了，所以他就接着往下想，既然不能任意地发希尔伯特变换对，那我规定大家都发一个类型的信号，这样只针对一个特定的信号做移相器，工程上不就好实现了吗。所以接下来要解决的问题是：大家统一发哪种信号呢？

这时，又来了另一个通信工程师，他不懂希尔伯特变换，但是他很懂信号调制与解调。他说了最近遇到的一个问题。原来传统的调制可以分成调频（FM）与调幅（AM）两种，这两种都是用信号来控制载波的一个性质，调幅就是直接将信号与载波相乘来控制载波的幅值；调频是用信号来控制载波的相位信息。但是随着时代的发展，传统的调制方法已经满足不了庞大且快速的数据传输要求了，因此，这个工程师突发奇想：我能不能发射一种新的已调波，它的幅值和相位都被调制过，而不是只调制其中的一种。

这两个工程师交换了意见，虽然互相有点都有点不理解，但冥冥之中他们感觉对彼此就是对的人，所以他们决定一块推导一下公式。

2、IQ调制的推导

对于一个幅值与相位都调制过的已调波，它的信号一定是这样的：

$s(t)=A(t)cos(w_c t + \phi (t))$