关系代数的八种基本运算

并

并，就是将两个或多个表并连起来，需要注意的就是在并的过程中，我们并不是直接一笼统地并起来，而且还要对相同的元祖进行合并，即并操作后的表中，相同的元组不可多次出现（该操作需满足表之间数据结构相同的条件）
例如R∪S，最后的结果是属于R与S的并集，即新表中的元组一定可以在R或者S中找到。
如下例
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交

交，与数学中的交相类似，也就是两个或多个表进行交操作，相同的元组被保留到新表，而不同的被舍弃。（该操作同样需满足数据结构相同的条件）
例如R∩S，最后的结果属于R与S的交集，即新表中的元组一定既在R中，又在S中。
如下例
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R与S在并的介绍里。

差

差，顾名思义就是两个或多个表进行相减的操作。该操作中需要注意的点是R－S与S－R是不同的（该操作同样需满足数据结构相同的条件）
例如R－S，最后的结果是属于R但不属于S的，即新表中的元组S一定在R中、但又不在S中。

笛卡尔积

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右上角为运算符号（客户端下显示右上）

笛卡尔积就是两个或多个表，进行直积操作，该操有点类似于排列组合中的组合数在这里插入图片描述
，只是类似，不是相同，不太理解的同学可以借这个理解，因为在笛卡尔积中，本质上也是对每个表中元组的一种组合，具体操作就是每个表取一个元组出来，直到所有表都取过后，便组成一个元组，所有可能的组合加在一起，就是我们讲的笛卡尔积，即最终的表。该操作不要求表的结构，并且与前面三个不同，它是在行与列两个维度的操作。
如下例
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R与S在并的介绍里。

选择

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选择就更好理解了，在数据库操作中我们用到最多的可能就是选择了，因为我们每次从数据库中读取数据一定是要加一个条件的，而不可能是把数据库中的所有数据全部提提取出来。选择，说白了就是在我们提取数据时，加一个限定条件，用来直接定位我们需要的数据。例如，你要得到姓名为张三的信息，那么你就要加一个限定，限定name=‘zhangsan’；再比如，你要得到年龄大于18岁的同学的信息，那么你就要加一个限定age>=18用以在对数据进行操作时的限定。这样一说是不是就很好理解了。
另外需要注意的是，选择是行运算。
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投影

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投影，如果单从字面理解可能很难想象到它的实际操作是什么，这样我们还是举例来说明。假如有一张表student，该表有三个属性，分别是姓名、年龄、性别。你现在需要统计不同年龄段的学生的数量，那么此时该表中姓名与性别是不是就不那么重要的了呢？我们这时候只需要得到年龄这一列的信息即可进行统计。因此我们只需要取出age这一列的信息即可。这便是投影。
需要注意的是，投影是列运算，并且投影之后会去掉重复的元组。
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连接

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连接就是将多个表连接成为一个表。在这里，连接还可以进行细分，又分自然连接、等值连接、外连接、内连接，而外连接又分为左外连接与右外连接，还有一个全外连接我们这里不讨论，最后还有一个内连接。下面说一个这几个连接的异同。

1、自然连接的属性名与值都必须相同，而等值连接只需要值相等即可。
2、左外连接，就是把左表作为主表，通过连接条件与右表进行对比，右表的元组如果满足条件即加入，不满足条件的相应位置置为NULL；右外连接与左外链接刚好相反就不细说了。
3、内连接与等值连接是相类似的，其作用效果是相同的。

这里建议小伙伴们不要对于这几个连接的联系和区别有过多纠结，只要知道他们的作用就好了，一昧地纠结反而会导致你陷入死胡同。

除

除，在关系代数运算中该运算方式看上去并不是很好理解，但还是与数学运算中的除有类似的地方的，这一点需要每个人的感觉。这里简单解释一下这里的除法运算是什么意思，与上相同，我们还是拿例子来做解释，这样更容易理解。

例题
描述：假设有表R、S，如下。现在要求R÷S的结果。
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结果

分析

在代数运算中的除法与数学中的除法类似，其重点在于因子。现在是不是有点豁然开朗了？如果还没有，继续跟着我的思路往下进行。

先看R和S的属性都有哪些，R（A、B、C），S（B、C、D），它俩之间共同的部分，就是B、C！也就是上面说到的，因子。这就是求解除法的关键。知道因子后，将该因子（即S中3个元组的B、C的值）都依次与R表中每一元组的B、C的值进行对比，如果每一个元组的两个值都相同，那么结果就是R表中不含B、C的属性。需要注意的地方是，对比B、C值相等并不是只要有一个值相等就可以了，而是S表中的三行B、C值在A属性固定的条件下都能一一对应上，那么此时A属性对应的这个值就为Q的一个值。
在固定R表的除因子以外的属性的条件下，如果能与因子的各个值都一一对应上，那么此时被固定的值就加入到Q。

在这题中，我们看到，最后的结果只有一个a1，这就是因为只有含a1的三个元组都能与因子（B、C）所有的值都一一对应上，另外的a2、a3、a4都不能全部一一对应。
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上图是将含a1的元组提出来用以说明。

总结

在这里解答几个问题。

S表中的除因子以外的属性怎么办？
答：不用管。
R表中的除因子以外的属性怎么办？
答：根据分析，我们最后所求结果就是因子以外的属性，一定不能忽略。
R表中不能找到与因子内每一个元组都一一对应的元组怎么办？
答：我们只需要看R中那些都能一一对应上的元组即可，不能一一对应的元组，都直接忽视，不用管，即使它就差一个就能全部对应上，也不能算入Q表！

最后强调一点，在与因子一一对应时，一定要固定另外的属性，不能变化！