1 基本思想
我们求解常微分方程的时候，某些常微分方程有解析方法，但是大多数的常微分方程只能用数值解法来求解。
数值解法的一个基本特点就是“递进式”，顺着节点的顺序一步一步向前推进。
龙格库塔法的基本思想就是利用f(x,y)在某些特殊点上的函数值的线性组合，来估算高阶单步法的平均斜率。
1.1 平均斜率
对于常微分方程，有一个初始解y=y(x)，用泰勒展开式有（其中，h=x(n+1)-x(n)）：
根据拉格朗日中值定理，存在一个θ∈(0,1),使得
所以对于,有
y'(x+θh)就是这里的平均斜率。
2 二阶龙格库塔法
考虑区间上的点
(0＜p≤1)
用点和
点的斜率K1和K2的加权平均作为
到
的 平均斜率K的近似值
即：K=λ1K1+λ2K2，也就是=
+h(λ1K1+λ2K2),其中h=
-
λ1和λ2都是待定的常数，K1=f(yi,yi)，那么问题在于：如何确定点的斜率K2和常数λ1，λ2
按照改进的泰勒展开式，用泰勒展开式估计
(
(y'=f(x,y))
并用它来估计斜率K2
于是得到如下形式的算法：
要使得公式具备二阶精度，需要：
λ1+λ2=1—— h的系数
λ2p=1/2——的系数
（和泰勒公式里面h的系数对应）
方程组有无穷多组解，所以二级方程有无穷多种。
的系数怎么看？f之前h的幂是
的一部分。
另一部分是这么看的：f(x,y+ Ki)中的n算是
的一部分，同时整个f(x,y)算是
的一部分
2.2 常用的二阶龙格库塔法
2.2.1 中点法
λ1=0，λ2=1 ，p=1/2
2.2.2 传统二阶龙格库塔法：
λ1=1/2 λ2=1/2 p=1
3 传统三阶龙格库塔法
通过验证，不难发现h的1，2，3次方的系数和泰勒展开式中一致
h的系数 1/6+2/3+1/6=1
的系数 (2/3)*1/2-1/6+(1/6)*2=1/2
的系数 ((1/6)*2)/2=1/6
4 传统四阶龙格库塔法
4.1 四阶龙格库塔法举例
我们使用经典四阶龙格库塔法：
实验结果：
可视化结果
4.2 python实现四阶龙格库塔法
见 python 实现四阶龙格库塔法_刘文巾的博客-CSDN博客
参考文献 第二节 龙格-库塔方法 - 百度文库 (baidu.com)
