参考了很多该博客 https://blog.csdn.net/u011233351/article/details/85116719，感谢博主。

参考论文《Approximate nearest neighbor algorithm based on navigable small world graphs》

《Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs》

----------------------------------先了解NSW------------------------------------

 

NSW论文中配了这样一张图，黑色是近邻点的连线，红色线就是“高速公路机制”了。我们从enter point点进入查找，查找绿色点临近节点的时候，就可以用过红色连线“高速公路机制”快速查找到结果。

为什么会形成“高速公路”呢？来看下面的例子

我们对7个二维点进行构图，用户设置m=3（每个点在插入时找3个紧邻友点）。首先初始点是A点（随机出来的），A点插入图中只有它自己，所以无法挑选“友点”。然后是B点，B点只有A点可选，所以连接BA，此为第1次构造。然后插入F点，F只有A和B可以选，所以连接FA，FB，此为第2此构造。然后插入了C点，同样地，C点只有A，B，F可选，连接CA，CB，CF，此为第3次构造。重点来了，然后插入了E点，E点在A，B，F，C中只能选择3个点（m=3）作为“友点”，根据我们前面讲规则，要选最近的三个，怎么确定最近呢？朴素查找！从A，B，C，F任意一点出发，计算出发点与E的距离和出发点的所有“友点”和E的距离，选出最近的一点作为新的出发点，如果选出的点就是出发点本身，那么看我们的m等于几，如果不够数，就继续找第二近的点或者第三近的点，本着不找重复点的原则，直到找到3个近点为止。由此，我们找到了E的三个近点，连接EA，EC，EF，此为第四次构造。第5次构造和第6次与E点的插入一模一样，都是在“现成”的图中查找到3个最近的节点作为“友点”，并做连接。

        图画完了，请关注E点和A点的连线，如果我再这个图的基础上再插入6个点，这6个点有3个和E很近，有3个和A很近，那么距离E最近的3个点中没有A，距离A最近的3个点中也没有E，但因为A和E是构图早期添加的点，A和E有了连线，我们管这种连线叫“高速公路”，在查找时可以提高查找效率（当进入点为E，待查找距离A很近时，我们可以通过AE连线从E直接到达A，而不是一小步一小步分多次跳转到A）。

-------------------------------------划重点：越早插入的点越容易产生高速公路-------------------------

对于查询来说，这里有三个点集合：candidates、visitedset、results 。其中candidates为当前要考察的点集合，visitedset为已经访问过的点集合，results为当前距离查询点最近的点集合；前两者为变长，最后为定长。

查询流程如下：

1. 随机选择一个点作为查询起始点entry_point，把该点加入candidates中，同时加入visitedset
2. 遍历candidates，从candidates中选择距离查询点最近的点c，和results中距离查询点最远的点d进行比较，如果c和查询点q的距离大于d和查询点q的距离，则结束查询，说明当前图中所有距离查询点最近的点已经都找到了，或者candidates为空
3. 从candidates中删除点c
4. 查询c的所有邻居e，如果e已经在visitedset中存在则跳过，不存在则加入visitedset
5. 把比d和q距离更近的e加入candidates、results中，如果results未满，则把所有的e都加入candidates、results。如果results已满，则弹出和q距离最远的点
6. 循环2-5     

论文中的伪码：

K-NNSearch(object q, integer: m, k)
TreeSet [object] tempRes, candidates, visitedSet, result 
// 进行m次循环，避免随机性
for (i←0; i < m; i++) do:put random entry point in candidatestempRes←nullrepeat:// 利用上述提到的贪婪搜索算法找到距离q最近的点cget element c closest from candidates to qremove c from candidates// 判断结束条件if c is further than k-th element from result thenbreak repeat// 更新后选择列表for every element e from friends of c do:if e is not in visitedSet thenadd e to visitedSet, candidates, tempResend repeat// 汇总结果add objects from tempRes to result 
end for 
return best k elements from result

-----------------------------------------装个逼，写一句自己的理解，欢迎大佬修正--------------------------------

         其实搜索过程还是图搜索里面open-closed表那一套吧，所以NSW最重要的是构图机制（伪德劳内，其实跟德劳内没有版毛钱关系）产生了高速公路，而且算法复杂度要比德劳内算法更小

----------------------------------------------NSW部分完，接下来是HNSW------------------------------------------------

HNSW

-----------------------------------------------先来了解跳表---------------------------------------------

正常查找需要遍历八个节点，现在只需要遍历七个节点，这个数据量比较小，优势不太明显。数据量越大有优势越明显

这样就保证了表层是“高速通道”，底层是精细查找，这个思想被应用到了NSW算法中，变成了其升级版-----HNSW

 

---------------------------------------------------先看查找最近邻算法，如下图----------------------------------

输入：q是待插入点，ep是enter point(s)，ef是返回最近邻的数量，lc是根据公式计算的q在哪些层

输出：q的ef个最近邻

c是候选点里面的某一点

f是上一步找到的最近邻点里面的最远点

7,8：如果c和q的距离大于f和q的距离，重新提取c

9，如果小于，就访问c的neighbours，更新已访问点v的数组和最远点f的值

13-17：如果e和q的距离小于f和q的距离，把e更新到候选点C的数组和返回最近邻点W的数组，如果W数组的长度大于ef的个数，就把最远点删除，从这可以看出W是一个动态链表，它的长度随着ef的个数而变化。

 

-----------------------------------------------------接下来是hnsw算法构建graph过程--------------------------------------------------------------

 

HNSW里面的多层结构不同于传统意义上的跳表，它的每一层不是顺序表，而是近邻图

这个算法总的来说干了个啥：遍历需要搜索的所有点，把每个点依次插入之后，确定该点所在的层数，建立该点与graph中其他点的连接关系（就是确定该点的邻居都有谁），举个例子：如果该点的层数l是3，那么算法会依次遍历3,2,1,0层的节点，分别在每一层用上面提到的SEARCH-LAYER算法找到自己的邻居，与这些邻居建立连接关系，每一层的每个节点的邻居数量是有限的（Mmax），如果大于这个数，就会丢弃最远的邻居，直到把所有点都insert到graph里面。

输入：graph ，q是待插入点，Mmax是每个点在某一层最多的连接数

输出：插入q，更新hnsw

第一步，L是top layer， l是根据公式（详见论文）算出来的layer，ef=1，就是简单的greedy search ，搜索到一个最接近的节点；

第二步，把第一步中获取的近邻值ep作为enter point，并用上面提到的SEARCH-LAYER依次在每一层查找最近邻，搜索到的最近邻会通过SELECT-NEIGHBOURS选取前几个到neighbours中，中间这几部比较简单，就不多说了，最后把搜索到的最近邻作为下一次的enter points。这里并不是从顶层开始遍历每一层，而是从min（L,l）到第0层

第二步开始以后，返回的近邻数量就从1变为efconstruction个了，这是为了保证检索的召回率；找到的最近邻值也作为插入值的候选，the found closest neighbors on each layer are also used as candidates for the connections of the inserted element。

第11行，找到这些邻居之后，将待插入点q和这些邻居之间建立联系，

Mmax是第0层以外的每一层的每个节点的最大边数，Mmax0是第0层的每个节点的最大边数（connections）

 

插入点q的层数l是个随机数，从l层到0层都会建立连接关系，第8-11行说明了该问题

 

----------------------------接下来就是利用KNN-SEARCH在建好的HNSW graph进行检索q的过程---------------------------

这个就比较好懂了，

先遍历top layer L到第1层，找到一个最近邻值作为下一步搜索的enter point

然后在第0层搜索，得到K个最近邻值。