动态规划解最长公共子序列(LCS)(附详细填表过程)

article/2025/9/6 11:36:37

方法

蛮力法求解最长公共子序列：

需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：

设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：

文字意思就是：

设

p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)

做法：

因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？

也是用一个二维数组b来表示：

在对应字符相等的时候，用↖标记

在p1 >= p2的时候，用↑标记

在p1 < p2的时候，用←标记

伪代码：

若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：

如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--

如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--

如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--

如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符

下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：

以此类推

最后填出的表为：

右下角的2即为LCS的长度

时间复杂度：

由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度

所以时间复杂度为O（m*n）

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{int m=s1.length()+1;int n=s2.length()+1;int **c;int **b;c=new int* [m];b=new int* [m];for(int i=0;i<m;i++){c[i]=new int [n];b[i]=new int [n];for(int j=0;j<n;j++)b[i][j]=0;}for(int i=0;i<m;i++)c[i][0]=0;for(int i=0;i<n;i++)c[0][i]=0;for(int i=0;i<m-1;i++){for(int j=0;j<n-1;j++){if(s1[i]==s2[j]){c[i+1][j+1]=c[i][j]+1;b[i+1][j+1]=1;          //1表示箭头为  左上}else if(c[i][j+1]>=c[i+1][j]){c[i+1][j+1]=c[i][j+1];b[i+1][j+1]=2;          //2表示箭头向  上}else{c[i+1][j+1]=c[i+1][j];b[i+1][j+1]=3;          //3表示箭头向  左}}}for(int i=0;i<m;i++)                //输出c数组{for(int j=0;j<n;j++){cout<<c[i][j]<<' ';}cout<<endl;}stack<char> same;                   //存LCS字符stack<int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; ){if(b[i][j] == 1){i--;j--;same.push(s1[i]);same1.push(i);same2.push(j);}else if(b[i][j] == 2)i--;elsej--;}cout<<s1<<endl;                     //输出字符串1for(int i=0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记{if(i==same1.top()){cout<<1;same1.pop();}elsecout<<' ';}cout<<endl<<s2<<endl;                //输出字符串2for(int i=0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记{if(i==same2.top()){cout<<1;same2.pop();}elsecout<<' ';}cout<<endl<<"最长公共子序列为：";while(!same.empty()){cout<<same.top();same.pop();}cout<<endl<<"长度为："<<c[m-1][n-1]<<endl;for (int i = 0; i<m; i++){delete [] c[i];delete [] b[i];}delete []c;delete []b;
}
int main()
{string s1="ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";string s2="OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";LCS(s1,s2);return 0;
}