算法：最长公共子序列（输出所有最长公共子序列）

article/2025/9/6 12:51:47

问题描述：给定两个序列，例如 X = “ABCBDAB”、Y = “BDCABA”，求它们的最长公共子序列的长度。

下面是求解时的动态规划表，可以看出 X 和 Y 的最长公共子序列的长度为4：
在这里插入图片描述
输出一个最长公共子序列并不难（网上很多相关代码），难点在于输出所有的最长公共子序列，因为 LCS 通常不唯一。

我们需要在动态规划表上进行回溯 —— 从c[m][n]，即右下角的格子，开始进行判断：如果格子c[i][j]对应的X[i-1] == Y[j-1]，则把这个字符放入 LCS 中，并跳入c[i-1][j-1]中继续进行判断；如果格子c[i][j]对应的 X[i-1] ≠ Y[j-1]，则比较c[i-1][j]和c[i][j-1]的值，跳入值较大的格子继续进行判断；如果出现c[i-1][j]等于c[i][j-1]的情况，说明最长公共子序列有多个，故两边都要进行回溯（这里用到递归）。直到 i 或 j 小于等于零为止，倒序输出 LCS 。

在这里插入图片描述
从上图的红色路径显示，X 和 Y 的最长公共子序列有 3 个，分别为 “BDAB”、“BCAB”、“BCBA”。
C++代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;string X ;
string Y ;
vector<vector<int> > c; // 动态规划表
set<string> lcs;      // set保存所有的LCSint lcs_length(int m, int n)
{// 表的大小为(m+1)*(n+1)c = vector<vector<int> >(m+1,vector<int>(n+1));for(int i=0; i<m+1; ++i){for(int j=0; j<n+1; ++j){// 第一行和第一列置0if (i == 0 || j == 0)c[i][j] = 0;else if(X[i-1] == Y[j-1])c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;elsec[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]);}}return c[m][n];
}void lcs_print(int i, int j, string lcs_str)
{while (i>0 && j>0){if (X[i-1] == Y[j-1]){lcs_str.push_back(X[i-1]);
//			cout<<X[i-1]<<endl;--i;--j;}else{if (c[i-1][j] > c[i][j-1])--i;else if (c[i-1][j] < c[i][j-1])--j;else{lcs_print(i-1, j, lcs_str);lcs_print(i, j-1, lcs_str);return;}}}
//	cout<<lcs_str<<endl;reverse(lcs_str.begin(),lcs_str.end());lcs.insert(lcs_str);
}int main()
{cin>>X>>Y;int m = X.length();int n = Y.length();int length = lcs_length(m, n);cout << "The length of LCS is " << length << endl;string str;lcs_print(m, n, str);set<string>::iterator it = lcs.begin();for( ; it!=lcs.end(); it++)cout << *it << endl;return 0;
}