1、核函数背景

本文为核函数进阶教程，希望看文章之前最好对核函数有一些最基本的了解，不然有些地方可能会看不太懂。
我们来看一下我们面临的一个实际问题

如图所示，要在二维空间中找一个超平面（此时是一条直线）奖两个类别划分开，是不太可能的事情。这个时候我们就需要核函数帮助我们进行升维操作，再更高维的空间中寻找超平面将两个类别进行划分。
我们假设存在一个维度转换函数$\varphi (x)$，可以将二维空间映射到三维空间。在二维空间中，$X=(x_1,x_2)$，映射到三维空间后，$\varphi (x)=(x_1,x_2,x_1^2-x_2^2)$，这个时候，在二维空间中的四个点坐标分别维$(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$，映射到三维空间后，点坐标对应为$(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$。如下图所示：

这个时候，我们很容易在三维空间找到一个平面将两个类别进行划分。这里存在一个核技巧，我们不用去过分关注$\varphi (x)$具体是什么形式，因为很复杂，我们只需要关注$<\varphi (x),\varphi (z)$即可。为什么呢，具体涉及到求解SVM过程中我们只需要知道$<\varphi (x),\varphi (z)$就可以求解出超平面，而不需要具体知道$\varphi (x)$的具体情况。
另外，我们通常所使用的核函数一般都是正定核函数。

核函数正式定义

定义1：如果存在一个函数K，对应输入为$X\times X,X\in R$，对于任意$\forall x,z\in X$,存在$\exists \varphi :X\to Z$（将输入空间映射到更高维的空间Z），并且满足于条件$s.t.k(x,z)=<\varphi (x),\varphi (z)>$，则称$k(x,z)$为正定核函数。
定义2：如果存在一个函数K，对应输入为$X\times X,X\in R$，对于任意$\forall x,z\in X$,存在$\exists \varphi :X\to Z$（将输入空间映射到更高维的空间Z），k(x,z)满足①对称性，即$k(x,z)=k(z,x)$，②正定性，矩阵
$$\left[\begin{array}{cccc}k(x_1,x_1)& k(x_1,x_2)& ...& k(x_1,x_m)\\ k(x_2,x_1)& k(x_2,x_2)& ...& k(x_2,x_m)\\ k(x_m,x_1)& k(x_m,x_2)& ...& k(x_m,x_m)\end{array}\right]$$
为半正定矩阵，则称$k(x,z)$为正定核函数。这里太理论了，大概了解一下就好。

2、高斯核函数

高斯核函数的定义为
$$k(x_i,x_j)=exp(\frac{||x_i-x_j|{|}^2}{2{\sigma }^2})=exp(-\gamma ||x_i-x_j|{|}^2)$$
我们首先思考一个问题，高斯核函数将原始的特征空间提升了多少的维度？
答案是无论原始的特征空间维度为多少，经过高斯核函数变换之后，特征空间都对应到了无穷维。
为什么是无穷维呢？
我们将高斯核函数进行展开，得到
$$k(x_1,x_2)=exp(\frac{x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2}{2{\sigma }^2})=exp(\frac{x_1^2}{2{\sigma }^2})\times exp(\frac{x_2^2}{2{\sigma }^2})\times exp(\frac{x_1{x}_2}{{\sigma }^2})$$
上式的三项中，我们知道，如果仅存在前面两项，则并没有进行升维操作，我们将前两项忽略，重点关注第三项。
根据泰勒展开式
$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...$$
将第三项展开得到
$$1+\frac{x_1}{\sigma }\frac{x_2}{\sigma }+...+\frac{(\frac{x_1}{n}{)}^n}{\sqrt{(}n!)}\frac{(\frac{x_2}{n}{)}^n}{\sqrt{(}n!)}$$
第三项可以展开写成两个向量相乘的形式
$$[1,\frac{x_1}{\sigma },...][1,\frac{x_2}{\sigma },...{]}^T$$
因此，我们知道高斯核函数将原始特征空间上升到无穷维。

2.2 参数带宽$\sigma$的影响

假设我们将两个点x1，x2映射到无穷空间中，得到$\varphi (x_1),\varphi (x_2)$，在高维空间中两个点之间的欧式距离为
$$d=||\varphi (x_1)-\varphi (x_2)|{|}^2=\varphi (x_1{)}^2+\varphi (x_2^2)-2\varphi (x_1)\varphi (x_2)$$
根据核函数的定义，我们知道
$$\varphi (x_1,x_1)=exp(0)=\varphi (x_2,x_2)$$
这样，我们将距离化简为
$$d=2-2\times exp(-\frac{||x_1-x_2|{|}^2}{2{\sigma }^2})$$
当$\sigma 为无穷时，d\to 0$,在高维空间中对样本点的区分程度下降，容易造成欠拟合。
当$\sigma 为o时，d\to 2$，在高维空间中对样本点的区分度最高，容易造成过拟合。

2.3高斯核函数的实际意义

高斯核函数实际反应了特征空间中两个点之间的相似性大小。当$\sigma$确定时，两点之间的距离越大，相似度趋近于0，两点之间的距离越小，相似度趋近于1.

2、多项式核函数

多项式核函数为
$$k(x_i,x_j)=(c+x_i^T{x}_j{)}^d$$
我们来看一个例子，假设存在一个维度转换函数$\varphi (x)$，原始向量为$x=(x_1,x_2)$，转换后得到$\varphi (x)=(1,\sqrt{2}{x}_1,\sqrt{2}{x}_2,x_1^2,x_2^2,\sqrt{2}{x}_1{x}_2)$，
求内积得到
$$\begin{gathered} <\varphi (x_i),\varphi (x_j)>=(1,\sqrt{2}{x}_{i1},\sqrt{2}{x}_{i2},x_{i1}^2,x_{i2}^2,\sqrt{2}{x}_{i1}{x}_{i2})\cdot (1,\sqrt{2}{x}_{j1},\sqrt{2}{x}_{j2},x_{j1}^2,x_{j2}^2,\sqrt{2}{x}_{j1}{x}_{j2})= \\ 1+2x_{i1}{x}_{j1}+2x_{i2}{x}_{j2}+x_{i1}^2{x}_{j1}^2+x_{i2}^2{x}_{j2}^2+2x_{i1}{x}_{j1}{x}_{i2}{x}_{j2} \\ =(1+x_{i1}{x}_{j1}+x_{i2}{x}_{j2}{)}^2 \end{gathered}$$
从这个例子我们再次深入体会了什么是核技巧，kernel trick。直接去求解$\varphi (x)$是非常艰难的，但是求解$<\varphi (x_i,\varphi (x_j)>$却是十分方便的。
当参数c和d确定时，新维度数也就确定了。例如上面的例子中，新维度数是6维。
假如设定参数c为0，那么
$$K(x_i,x_j)=(x_i\cdot x_j{)}^2=(x_{i1}{x}_{j1}+x_{i2}{x}_{j2}{)}^2=x_{i1}^2{x}_{j1}^2+x_{i2}^2{x}_{j2}^2+2x_{i1}{x}_{j1}{x}_{i2}{x}_{j2}$$
这个时候，维度转换函数为
$$\varphi (x)=(x_1^2,x_2^2,\sqrt{2}{x}_1{x}_2)$$
这个时候，新维度数就变成了3维。
如何确定新特征空间的维度数呢？
将$k(x_i,x_j)=(c+x_i^T{x}_j{)}^d$进行展开，展开后有几项，新特征空间的维度数量便有多少。
这里的参数c对高维空间的影响是什么？
有c的存在，高维空间中还保留了原始低维空间中的维度，例如$\sqrt{2}{x}_1$等。使得结果同时具有高低此项，维度更为丰富。而c=0时，高维空间中的低次项没有了，全是高次项。

4、参考资料

1、【数之道26】SVM支持向量机-核技巧Kernel Trick详解(多项式核函数，无限维度高斯核函数）
2、机器学习 svm 高斯核函数
3、机器学习–核方法（Kernel Method）