牛顿迭代法（牛顿-拉弗森方法）

五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。

简而言之就是说：通过反复求切线的斜率无限逼近求得f（x）的解，也就是方程的根。 

 

 

重点：牛顿-拉弗森方法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？

牛顿-拉弗森方法源于直觉，这种直觉本身有一定程度的合理性。

我们来看看收敛的充分条件：若f（x）二阶可导，那么在待求零点x周围存在一个区域，只要起始点x0位于这个邻域内，那么牛顿拉弗森方法必定收敛，也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点x0选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不靠谱了（就可能求不出近似解了！）

如果起始点选择错误会有以下情况：（在上方的网站中有详细的解答）

1、驻点（切线没有根，毫无意义）

2、越来越远离的不收敛

3、循环震荡不收敛

此外，当一个函数有多个根，而选择的起始点只能求到附近的根，所以不能求出所有的根！

总结：应用牛顿-拉弗森方法，要注意以下问题：

• 函数在整个定义域内最好是二阶可导的
• 起始点对求根计算影响重大，可以增加一些别的判断手段进行试错（牛顿迭代法的一大缺陷！）

例子：求方程F1（在下方有定义）在x0附近的根 //给出了x0，也就是起始点

//牛顿迭代法求解方程组的根！

#include<iostream>
using namespace std;
double F1(double x)     //F1为原函数,注意变量x的值和函数返回值都是double型的，否则在后面的循环误差会很大
{double result;result = pow(x, 3) + 2 * pow(x, 2) + 10 * x - 20;return result;
}
double F2(double x)  //F2为F1导函数，注意变量x的值和函数返回值都是double型的，否则在后面的循环误差会很大
{double result;result = 3 * pow(x, 2) + 4 * pow(x, 1) + 10;return result;}
int main()
{double epson, X0, Xn,X;cout << "任务：用牛顿迭代法求方程的在0附近的根，请输入精度x的值"; cin >> epson;cout << "请输入初始化的迭代值X0="; cin >> X0;do{X = X0;X0 = X - F1(X) / F2(X);cout << 1;} while (fabs(X0 - X) > epson);cout << "近似解为" << X0;return 0;
}