ARIMA模型概述

article/2025/9/23 6:53:55

ARIMA模型

ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），时间序列预测分析方法之一。ARIMA（p，d，q）中，AR是"自回归"，p为自回归项数；MA为"滑动平均"，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。
ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q）模型的扩展。ARIMA（p，d，q）模型可以表示为：
在这里插入图片描述
其中L是滞后算子（Lag operator）

时间序列平稳性

平稳性

平稳性就是要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线在未来一段时间内仍能顺着现有的形态惯性地延续下去。平稳性要求序列的均值和方差不发生明显变化。

严平稳

严平稳表示的分布不随时间的改变而改变。如白噪声(正太),无论怎么取，都是期望为0，方差为1

宽平稳

期望与相关系数(依赖性)不变。未来某时刻的t的值Xt就要依赖于它的过去信息，所以需要依赖性。这种依赖性不能有明显的变化。

差分法

使用差分法可以使得数据更平稳，常用的方法就是一阶差分法和二阶差分法。
时间序列差分值的求解可以直接通过pandas中的diff函数得到

建立ARIMA模型的过程

一般来说，建立ARIMA模型一般有三个阶段，分别是模型识别和定阶、参数估计和模型检验。

1、模型识别和定阶

模型的识别问题和定阶问题，主要是确定p，d，q三个参数，差分的阶数d一般通过观察图示，1阶或2阶即可。这里我们主要介绍p和q的确定。我们首先介绍两个函数。

自相关函数ACF(autocorrelation function)

自相关函数ACF描述的是时间序列观测值与其过去的观测值之间的线性相关性。计算公式如下：
在这里插入图片描述
其中k代表滞后期数，如果k=2，则代表yt和yt-2

偏自相关函数PACF(partial autocorrelation function)

偏自相关函数PACF描述的是在给定中间观测值的条件下，时间序列观测值预期过去的观测值之间的线性相关性。
举个简单的例子，假设k=3，那么我们描述的是yt和yt-3之间的相关性，但是这个相关性还受到yt-1和yt-2的影响。PACF剔除了这个影响，而ACF包含这个影响。

拖尾和截尾

拖尾指序列以指数率单调递减或震荡衰减，而截尾指序列从某个时点变得非常小：
在这里插入图片描述
出现以下情况，通常视为(偏)自相关系数d阶截尾：

1）在最初的d阶明显大于2倍标准差范围

2）之后几乎95%的(偏)自相关系数都落在2倍标准差范围以内

3）且由非零自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然
在这里插入图片描述
出现以下情况，通常视为(偏)自相关系数拖尾：

1）如果有超过5%的样本(偏)自相关系数都落入2倍标准差范围之外

2）或者是由显著非0的(偏)自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续。在这里插入图片描述

2、参数估计

通过拖尾和截尾对模型进行定阶的方法，往往具有很强的主观性。回想我们之前在参数预估的时候往往是怎么做的，不就是损失和正则项的加权么？我们这里能不能结合最终的预测误差来确定p，q的阶数呢？在相同的预测误差情况下，根据奥斯卡姆剃刀准则，模型越小是越好的。那么，平衡预测误差和参数个数，我们可以根据信息准则函数法，来确定模型的阶数。预测误差通常用平方误差即残差平方和来表示。
常用的信息准则函数法有下面几种：

AIC准则

AIC准则全称为全称是最小化信息量准则（Akaike Information Criterion），计算公式如下：

AIC = =2 *（模型参数的个数）-2ln（模型的极大似然函数）

BIC准则

AIC准则存在一定的不足之处。当样本容量很大时，在AIC准则中拟合误差提供的信息就要受到样本容量的放大，而参数个数的惩罚因子却和样本容量没关系（一直是2），因此当样本容量很大时，使用AIC准则选择的模型不收敛与真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多。BIC（Bayesian InformationCriterion）贝叶斯信息准则弥补了AIC的不足，计算公式如下：
BIC = ln(n) * (模型中参数的个数) - 2ln(模型的极大似然函数值)，n是样本容量