Matlab系列之符号运算

前言
创建符号对象
基本操作
- 符号变量的基本操作
- 符号表达式的基本操作
- - 四则运算
  - 多项式的操作
  - 符号表达式化简
  - 符号表达式的替换
  - 反函数求解
  - 复合函数
- 更多精彩等你发现~

前言

看到文章的名字，可能很多人都没懂意思，如果叫它的另一个名字：代数运算，或许你就懂了；与正常的数值计算对数值处理有点不一样，符号运算处理的是符号；符号除了可以代表数以外，还可以代表多项式、函数、数学结构等等，MATLAB的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox简成sym）具有丰富的内容，工具箱中符号表达式的计算都是在Maple内核下运行。Maple是一款数学软件，具体我也没了解过，反正符号运算功能很强就对了，本篇将对符号对象、符号变量以及符号表达式进行一些使用介绍，下一篇再对符号矩阵、符号微积分、符号积分变换以及符号方程求解进行记录。

注：使用的是MATLAB R2019B的版本

创建符号对象

符号对象在MATLAB中的使用也很好理解，直接使用sym或者syms函数生成其相关的变量或表达式，格式如下：

S=sym(x)
S=syms var1,var2,var3...%var代表变量名

S就是生成的符号对象，x代表字符、字符串、表达式等等，如果x代表的是一个数，则S为该数的一个符号表示；如果x是字符串，则S为一个符号变量或者符号表达式，如下示例：

s1=sqrt(2)%对数值2进行开方运算
s2=sym(sqrt(2))%将根号2转为字符表达式即“根号2”
s22=double(s2)%将对应的符号对象s2转为对应的运算结果

结果：

如果表达式的元素都定义成符号变量，则所得结果会按代数式的规则进行运算，如：

sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(2)

结果：

ans = 9/10

使用sym函数进行符号变量和符号表达式进行演示，然后观察运行结果，就可以很清楚的理解符号对象了，看以下的举例，可以看到生成字符表达式使用了一个str2sym的函数将字符串直接转换成了sym的格式，因此此时的sym()这个其实可以不写了，不过为了理解，还是加上了。

注：旧版本（测试了下r2016a）就没有str2sym这个函数了，直接使用sym就可以。

x=sym('x')
y=sym(str2sym('hello_world'))
z=sym(str2sym('(1+sqrt(3))/2'))
s=sym(str2sym('a*x^2+b*x+c'))

结果：

syms函数用于创建符号变量，然后再将生成的符号变量使用在符号表达式上，这个就不需要再像刚刚那样进行字符串的转化了，举例：

syms a b c x
f=a*x^2+b*x+c
f-a%进行符号表达式的运算

结果：

以上主要介绍了符号变量与符号表达式的创建，接下来再对符号方程进行创建，首先都知道，方程和表达式的区别就在于表达式是由数字和变量组成的代数式，方程则在此基础上多了个等式，所以创建的方式和生成符号表达式类似：

s=sym(str2sym('a*x^2+b*x+c=0'))

结果：

基本操作

既然创建了符号对象，当然需要拿来使用了，具体可以怎么用，以下将进行介绍。

符号变量的基本操作

介绍几个与符号变量相关的函数，symvar(注：旧的版本用的findsym)、digits与vpa函数；

symvar用于实现在表达式中寻找所有的自变量或者指定数量的独立自变量，格式如下：

symvar(s)%寻找表达式s中所有的符号变量
symvar(s,n)%在表达式s中寻找靠近字母x的n个符号变量

至于为什么默认是寻找‘x’附近的符号变量，就不清楚了，还有要知道一点，如果找到两个符号变量与x的距离相同，就ASCII码者大的优先，i、j、pi不做符号变量，做简单的示例演示：

%先创建符号变量，再创建函数，再求函数也就是表达式的符号变量
syms a b x m t
f=a*x^m+b*t
symvar(f,1)
symvar(f,2)
symvar(f,5)%找出靠近x的5个自变量
symvar(f)%找出所有的自变量

结果：

digts和vpa函数用于控制符号运算的精度。

digts(n)代表将符号计算的精度设置成n，即小数位数，如果没有设置这个，则使用默认值32；

vpa即"variable precision arithmetic"，使用方法：fv=vpa(f)，即按照digits指定的精度对f进行计算，然后将值赋给fv；也可以fv=vpa(f,n)，即在n位精度下，得到f的计算结果，并赋值给fv。

使用举例：

digits(10)
f1=vpa(sin(sym('pi')/6))
f2=vpa(pi)
f3=vpa(str2sym('(1+sqrt(3))/2'))

结果：

符号表达式的基本操作

符号表达式的操作更多，可以进行四则运算、合并同类项、因式分解、反函数求解等等，接下来一一介绍。

四则运算

这个就和普通的算术表达式一样，加减乘除，直接举例看结果：

syms x y a b
f1=sin(x)+cos(y)
f2=a+b
f3=f1*f2
f3=f1/f2

结果：

多项式的操作

为方便，就将多项式因式分解、多项式展开、合并同类项等等与多项式有关的就放一块进行了，关于对应的数学含义我就不说了，不懂的话，就建议好好打打数学基础…

先看下几种有符号多项式相关的函数及其使用格式：

factor(S)%因式分解
expand(S)%多项式展开
collect(S)%按照默认变量x合并同类项
collect(S,y)%按变量y合并同类项
horner(f)%将一般的符号多项式转成嵌套形式

看完格式了，就直接看以下的各个举例操作：

%因式分解
f=sym(str2sym('x^3-1'))
factor(f)%因式分解结果：(x-1)*(x^2+x+1)

结果：

%多项式展开
syms  x y
f=(x+1)^5
expand(f)
f=cos(x+y)
expand(f)

结果：

%合并同类项
syms x y 
f=(exp(x)+x)*(x+2)*(y+1)
c1=collect(f)
c2=collect(f,y)
c3=collect(f,exp(x))

结果：

%将一般形式转换为嵌套形式
f=sym(str2sym('x^3-5*x^2+6*x-7'))
horner(f)

结果：

如果表达式是一个有理分式，或者展开后是有理分式，就可以使用numden函数来提取符号表达式中的分子和分母，使用格式：

[n,d]=numden(s)

注：s为符号表达式，n和d分别代表分子(numerator)和分母(denominator)

举例：

syms x y
f=x/y+y/x
[n,d]=numden(f)

从结果可以看到，函数将表达式进行了合并后才进行分子和分母的提取，如下：

多项式的基本操作就到这，接下来介绍下符号表达式的化简，和我们理解的表达式化简一个意思

符号表达式化简

化简有两个函数，simplify和simple（注：R2015a的版本把这个函数移掉了），simplify利用的是Maple的化简规则对符号表达式进行化简，会用到大量的代数恒等式和函数恒等式，比如：求和、开方、整数幂、三角函数、指数函数、对数函数超几何分布、伽马函数等等，力求得到最简的结果。

举例：

f=sym(str2sym('sin(x)^2+cos(x)^2'));%三角公式
s=sym(str2sym('exp(c*log(sqrt(a+b)))'));
f1=simplify(f)
s1=simplify(s)

结果：

simple函数可以使用不同的化简方法，然后将使用的方法与化简结果一起输出，如果没有指定输出项，就会将所有使用到的化简方法和化简结果输出。

使用格式如下，我电脑上没有15a的版本就不演示例程了：

[r,how]=simple(s)%r为化简结果，how为使用的化简方法，s为符号表达式

符号表达式的替换

MATLAB的符号工具箱提供了两个替换函数，subs和subexpr；

subs：替换和被替换的符号变量都可以由自己指定，有以下的三种调用方式

subs(s,old,new)
subs(s,new)
subs(s)

s是符号表达式，old就是s中的某个符号变量，也是需要被替换掉的变量，new就是你自己想要替换后显示的那个符号变量，而这三种调用方式的含义直接看代码来理解会好理解些：

举例：

%exam1
syms a b
e1a=subs(a+b,a,3)%3替换a
e1b=subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})%多重替换，将alpha和2分别替换a和b
%exam2
f=sym(str2sym('x^2+3*x+1'))%创建符号表示
e2=subs(f,'x',2)%将表达式中的x替换为2，即求解x=2时，f的值
%exam3
syms x y
e3=symvar(x + y, 1)%未输入old的变量时，默认替换符号表达式中的‘x’
%exam4
syms x
y=x^2;
x=2;%将x的值设为2
e4a=y%依旧是符号表达式x^2
e4b=subs(y)%使用新的值来表示y

结果：

%exam1
e1a = 
b + 3 
e1b = 
sin(2) + cos(alpha) 
%exam2
f = 
x^2 + 3*x + 1 
e2 = 
11 
%exam3
e3 = 
x 
%exam4
e4a = 
x^2 
e4b = 
4

subexpr：这个是将符号表达式中重复出现的字符串用符号变量替换，未指定新的符号变量，则使用默认的变量，从而简化符号表达式，使用格式有这么以下三种：

[r,sigma] = subexpr(expr)
[r,vari] = subexpr(expr,'var')
[r,vari] = subexpr(expr,var)

r是简化后的表达式；

sigma和vari都是代表重复的字符串，也就是被替换掉的那个字符串，而写成这两个格式，是为了区分是否指定了变换的符号变量，若无则默认以sigma这个变量对表达式进行简化，若有指定的就按指定的进行简化了，可以看下面的举例；

expr代表含有重复字符串的符号表达式，var和‘var’其实是等效的，不过前提是var必须要有定义或存在于工作变量区，因此‘var’就相当于var定义再使用的步骤。

举例：

syms a b c x
solutions = solve(a*x^2 + b*x + c == 0, x)%求解二次方程
[r,s1] = subexpr(solutions)
[r,s2] = subexpr(solutions,'var')

结果：

从上面的结果可以很清楚的看出，简化后的表达式形式以及被替换的重复字符串是哪个，如果遇到很复杂的一串表达式的时候，用用简化不是很香吗？

反函数求解

反函数的理解就简单许多，直接看它的使用格式：finverse(f,var)，f代表自变量是var的符号函数，var若没写，则返回的反函数自变量和原函数自变量相同，看以下的简单举例：

syms x y
f=tan(x)+tan(y);
f1=finverse(f)%未指定反函数自变量
f2=finverse(f,y)%指定反函数自变量为y

结果：

从结果可以看到未指定反函数的自变量时，默认采用了x，显然有一定的先后顺序，然后指定y是自变量后，结果就明显不同了。

复合函数

在进行一些复杂计算时，经常遇到复合函数，在MATLAB中求解复合函数用compose函数，使用的格式如下：

compose(f,g)%返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y))，自变量为y
compose(f,g,z)%返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z))，自变量为z
compose(f,g,x,z)%返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y))，x为函数f的独立变量，自变量为z
compose(f,g,x,y,z)%返回f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z))，自变量为x和y分别为f和g的独立变量，自变量为z

可能看到使用格式的后两个的表述，会有点懵逼，但是仔细看一下举例操作，就可以很好的理解独立变量的意思了：

%创建函数
syms x y z u t
f=1/(1+x^2)
g=sin(y)
h=x^u
s=exp(-y/t)
%执行函数复合操作
e1=compose(f,g)
e2=compose(h,g,z)
e3=compose(h,g,u,z)
e4=compose(h,s,x,y,z)
e5=compose(h,s,u,t,z)

生成的函数结果：