几何分布
几何分布是伯努利分布的推广，不断重复伯努利试验，直到首次成功为止，随机变量 X X X表示首次成功时已经完成的试验次数，我们称 X X X 是一个服从几何分布的随机变量
适用情况举例
实际中有不少随机变量服从几何分布，譬如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 X ～ Geom ( 0.05 ) X ～ \text{Geom}(0.05) X～Geom(0.05) 【引用自：几何分布】
截图来源：Geometric distribution
截图来源：几何分布
第一种情况对应上面第一种几何分布、第二种情况对应上面第二种几何分布
截图来源：Geometric distribution
我们这里介绍的是第一种几何分布
均值和方差
我们用 μ X \mu_X μX 表示均值
第一轮试验：第一次试验成功，成功概率为 p p p，已经完成的试验次数 X = 1 X=1 X=1，此轮试验的期望 1 ⋅ p 1\cdot p 1⋅p
第二轮试验：第一次试验失败，已经完成试验次数 X = 1 X=1 X=1，期望为 1 ⋅ ( 1 − p ) 1\cdot (1-p) 1⋅(1−p)，试验重新开始，前 E [ X ] E[X] E[X] 次试验失败，失败概率 1 − p 1-p 1−p，已经完成的试验次数 X = E [ X ] X=E[X] X=E[X]，期望约为 E [ X ] ( 1 − p ) E[X](1-p) E[X](1−p)，
第二轮试验的期望 1 ⋅ ( 1 − p ) + E [ X ] ( 1 − p ) = ( E [ X ] + 1 ) ( 1 − p ) = E [ 1 + X ] ( 1 − p ) 1\cdot (1-p)+E[X](1-p)=(E[X]+1)(1-p)=E[1+X](1-p) 1⋅(1−p)+E[X](1−p)=(E[X]+1)(1−p)=E[1+X](1−p)，
其中 E [ 1 + X ] E[1+X] E[1+X]代表第一次试验失败，试验重新开始后，试验 E [ X ] E[X] E[X]次失败
E [ X ] = 1 ⋅ p + E [ X + 1 ] ( 1 − p ) p E [ X ] = 1 μ X = E [ X ] = 1 p E[X]=1\cdot p+E[X+1](1-p)\\ ~\\ pE[X]=1\\ ~\\ \mu_X=E[X]=\frac{1}{p} E[X]=1⋅p+E[X+1](1−p) pE[X]=1 μX=E[X]=p1
E [ X 2 ] = 1 ⋅ p + E [ ( 1 + X ) 2 ] ( 1 − p ) E [ X 2 ] = p + ( 1 + 2 E [ X ] + E [ X 2 ] ) ( 1 − p ) E [ X 2 ] = 1 + 2 ( 1 − p ) E [ X ] p Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = 1 − p p 2 E[X^2]=1\cdot p+E[(1+X)^2](1-p)\\ ~\\ E[X^2]=p+(1+2E[X]+E[X^2])(1-p)\\ ~\\ E[X^2]=\frac{1+2(1-p)E[X]}{p}\\ ~\\ \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1-p}{p^2} E[X2]=1⋅p+E[(1+X)2](1−p) E[X2]=p+(1+2E[X]+E[X2])(1−p) E[X2]=p1+2(1−p)E[X] Var=E[X2]−E[X]2=p21−p
例子：
截图来源：Geometric distribution
