一、实验说明

实验环境

Anaconda + python3.6 + jupyter

二、Python 矩阵基本运算

引入 numpy 库

import numpy as np

1. python矩阵操作

① 使用 mat 函数创建一个 2X3矩阵

a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

② 使用 shape 可以获取矩阵的大小

a.shape

③ 进行行列转换

a.T

④ 使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算

b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

⑤ 加减法

a + b
a - b

2. python矩阵乘法

① 使用二维数组创建两个矩阵A和B

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = A.T

② 一个矩阵的数乘，其实就是矩阵的每一个元素乘以该数

2 * A

③ dot 函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积

np.dot(A, B)

np.dot( B, A)

注意交换矩阵的前后位置会导致不同的结果

④ 再创建一个二维数组

C = np.array([[1, 2], [1, 3]])

⑤ 验证矩阵乘法的结合性：$(AB)C=A(BC)$

np.dot(np.dot(A, B), C)

np.dot(A, np.dot(B, C))

⑥ 验证矩阵加法的分配性：$(A+B)C=AC+BC$

A = B - 1
np.dot(A+B, C)

np.dot(A, C) + np.dot(B, C)

⑦ 数乘的结合性

2*(np.dot(A, C))

np.dot(2*A, C)

np.dot(A, 2*C)

⑧ 使用 eye 创建一个单位矩阵

D = np.eye(2)

⑨ 一个矩阵乘以一个单位矩阵，还是它本身

np.dot(C, D)

3. python矩阵转置

矩阵的转置就是将矩阵的行变为列，将列变为行

① 第一个性质矩阵转置的转置就是它本身：$(A^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime }}=A$

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

A.T.T

② 创建两个尺寸相同的矩阵

B = A.T
C = B - 1

③ 验证矩阵转置的第二个性质：$(A\pm B{)}^{{}^{\prime }}=A^{{}^{\prime }}\pm B^{{}^{\prime }}$

(B + C).T

B.T + C.T

④ 验证矩阵转置的第三个性质：$(KA{)}^{{}^{\prime }}=K{A}^{{}^{\prime }}$

(2 * A).T

2 * A.T

⑤ 验证矩阵转置的第四个性质：$(A\times B{)}^{{}^{\prime }}=B^{{}^{\prime }}\times A^{{}^{\prime }}$

np.dot(A, B).T

np.dot(B.T, A.T)

4. python求方阵的迹

方阵的迹就是主对角元素之和

① 创建一个方阵（方阵也就是行数等于列数的矩阵）

E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

② 用 trace 计算方阵的迹

np.trace(E)

③ 再创建一个方阵F

F = E - 2

④ 验证一下方阵的迹等于方阵的转置的迹

np.trace(E)

np.trace(E.T)

⑤ 验证一下方阵的乘积的迹

np.trace(np.dot(E, F))

np.trace(np.dot(F, E))

⑥ 验证一下方阵的和的迹等于方阵的迹的和

np.trace(E + F)

np.trace(E) + np.trace(F)

5. python方阵的行列式计算方法

① 创建两个方阵

E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
F = np.array([[1, 2], [1, 3]])

② 使用 linalg.det 方法求得方阵E和方阵F的行列式

np.linalg.det(E)

np.linalg.det(F)

6. python求逆矩阵/伴随矩阵

逆矩阵的定义：

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。当矩阵A的行列式|A|不等于0时才存在可逆矩阵。

伴随矩阵的定义：

设A为n节方阵，则由A的行列式|A|中各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下矩阵
$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$
称为矩阵A的伴随矩阵，或简称 “伴随阵”

① 创建一个方阵

A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])

② 使用 linalg.det求得方阵的行列式

A_abs = np.linalg.det(A)

③ 使用 linalg.inv 求得方阵A的逆矩阵

B = np.linalg.inv(A)

④ 利用公式求伴随矩阵：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$

A_bansui = B * A_abs

7. python解多元一次方程

使用python的numpy包中的 linalg.solve() 方法解多元一次方程

要求解的方程如下：
$$\begin{gathered} x+2y+z=7 \\ 2x-y+3z=7 \\ 3x+y+2z=18 \end{gathered}$$
① 将未知数的系数写下来，排列成一个矩阵a

a = [[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]]
a = np.array(a)

② 常数项构成一个一维数组（向量）

b = [7, 7, 18]
b = np.array(b)

③ 使用 linalg.solve 方法解方程，参数a指的是系数矩阵，参数b指的是常数项矩阵

x = np.linalg.solve(a, b)

④ 使用点乘的方法可以验证一下，系数乘以未知数可以得到常数项

np.dot(a, x)