第39章

IIR滤波器的Matlab设计

本章节讲解IIR滤波器的Matlab设计，主要包括巴特沃斯滤波器，切比雪夫I型和II型滤波器以及椭圆滤波器。

39.1 巴特沃斯滤波器的设计

39.2 切比雪夫滤波器的设计

39.3 椭圆滤波器的设计

39.4 总结

39.1

巴特沃斯滤波器的设计

39.1.1butter函数

功能：用于设计Butterworth(巴特沃斯)滤波器

语法：[b, a] = butter(n, Wn);

说明：butter函数可以设计低通、带通、高通和带阻数字滤波器，其特性可以使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但会损失截止频率处的下降斜度，使幅度响应衰减较慢。

l[b,a] = butter(n,Wn)可以设计截止频率为Wn的n阶低通butterworth滤波器，其中截止频率Wn应满足0Wn1，Wn=1相当于0.5fs(采样频率)。当Wn= [W1W2]时，butter函数产生一个2n阶的数字带通滤波器，其通带为W1

l[b,a] = butter(n,Wn,'ftype')可以设计高通或带阻滤波器。当ftype=high时，可设计截止频率为Wn的高通滤波器；当ftype=stop时，可设计带阻滤波器，此时Wn= [W1W2]，阻带为W1

使用butter函数设计滤波器，可以使通带内的幅度响应最大地平坦，但会损失截止频率处的下降斜度。因此，butter函数主要用于设计通带平坦的数字滤波器。

39.1.2buttord函数

功能：用来选择Butterworth滤波器的阶数。

语法：[n, Wn] = buttord(WP, WS, RP, Rs)；

说明：buttord函数可以在给定滤波器性能的情况下，选择Butterworth数字滤波器的最小阶数，其中WP和WS分别是通带和阻带的截止频率，其值为0Wp(或Ws)1，当该值为1时表示0.5fs(采样率)。RP和 Rs分别是通带和阻带区的波纹系数和衰减系数。

[n, Wn] = buttord(WP, WS, RP, Rs)可以得到高通、带通和带阻滤波器的最小阶数n。

当WP>WS时，为高通滤波器；当WP, WS为二元矢量时，若WPS，则为带通和带阻滤波器，此时Wn也为二元矢量。

利用buttord函数可得到Butterworth数字滤波器的最小阶数n，并使通带(0，WP)内的波纹系数小于RP,阻带(WS, 1)内衰减系数大于Rs。buttord函数还可以得到截止频率Wn，再利用butter函数可产生满足指定性能的滤波器。

使用butter函数设计数字滤波器，可以使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但在截止频率附件幅度响应衰减慢。如果期望幅度响应下降斜度大，衰减快，可使用Elliptic(椭圆)或Chebyshev(切比雪夫)滤波器。

39.1.3巴特沃斯低通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯低通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组低通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25(也就是125Hz)，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000; %设置采样频率 1k

N=1024; %采样点数

n=0:N-1;

t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列

f=n*fs/N; %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t); %信号

x2=sin(2*pi*200*t); %噪声

x=x1+x2; %信号混合

subplot(221);

plot(t,x); %绘制原始信号

xlabel('时间');

ylabel('幅值');

title('原始信号');

grid on;

subplot(222);

y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应

plot(f,abs(y));

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');

title('原始信号FFT');

grid on;

subplot(223);

Wc=2*125/fs; %设置截止频率125Hz

[b,a]=butter(2,Wc); %获取2阶IIR滤波系数

% y2=filter(b,a,x);

y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2

y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应

plot(f,abs(y3));

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');

title('滤波后信号FFT');

grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);

subplot(224);

plot(F/pi,abs(H));

xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应

ylabel('幅度');

Ps=sum(x1.^2); %信号的总功率

Pu=sum((y2-x1).^2); %剩余噪声的功率

SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比

title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);

grid on;

运算Malab结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器能够达到将近20的信噪比，比使用FIR需要更少的阶数。

39.1.4巴特沃斯高通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯高通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组高通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25(也就是125Hz)，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000; %设置采样频率 1k

N=1024; %采样点数

n=0:N-1;

t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列

f=n*fs/N; %频率序列