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1、 i 是虚数单位，即 i² = −1。考虑如下的 4 个二阶方阵：

G = {A, −A, B, −B, C, −C, D, −D} 是由矩阵组成的集合。

(1) 请验证 G 对普通的矩阵乘法运算 ∗ 封闭，并且给出 ⟨G, ∗⟩ 的运算表。

解答：

∗	A	-A	B	-B	C	-C	D	-D
A	A	-A	B	-B	C	-C	D	-D
-A	-A	A	-B	B	-C	C	-D	D
B	B	-B	-A	A	D	-D	-C	C
-B	-B	B	A	-A	-D	D	C	-C
C	C	-C	D	-D	A	-A	B	-B
-C	-C	C	-D	D	-A	A	-B	B
D	D	-D	-C	C	B	-B	-A	A
-D	-D	D	C	-C	-B	B	A	-A

所以G对普通的矩阵乘法运算 ∗ 封闭。

(2) 请证明 ⟨G, ∗ ⟩ 构成群。

解答：
设V=⟨G, ∗ ⟩ 是代数系统
任取x，y，z∈G都有（x∗y）∗z=x∗（y∗z），所以∗在G上是可结合的，所以V是半群
设x∈G，A∗x=x且x∗A=x，且A∈S是关于∗运算的单位元，V是独异点
由运算表可知，所有a∈G，有a^-1∈G，则 ⟨G, ∗ ⟩ 构成群。

2、考虑 G = {⟨a, b⟩ | a, b ∈ R, a ̸= 0} ，对于 G 中的任意元素 ⟨a1, b1⟩ 和 ⟨a2, b2⟩ ∈ G，定义二元运算 ◦：⟨a1, b1⟩ ◦ ⟨a2, b2⟩ = ⟨a1 × a2, b1 × a2 + b2⟩其中 × 和 + 是普通的实数上的乘法和加法。请证明 ⟨G, ◦⟩ 构成群。

解答：
设V=⟨G, ◦ ⟩ 是代数系统
任取x，y，z∈G，（⟨a1, b1⟩ ◦ ⟨a2, b2⟩） ◦ ⟨a3, b3⟩=⟨a1 × a2× a3, （b1 × a2 + b2）× a3+ b3⟩=⟨a1 × a2× a3, b1 × a2 × a3+ b2× a3+ b3⟩
⟨a1, b1⟩ ◦ （⟨a2, b2⟩ ◦ ⟨a3, b3⟩）=⟨a1 × a2× a3, （b1 × a2 + b2）× a3+ b3⟩=⟨a1 × a2× a3, b1 × a2 × a3+ b2× a3+ b3⟩
（⟨a1, b1⟩ ◦ ⟨a2, b2⟩） ◦ ⟨a3, b3⟩=⟨a1, b1⟩ ◦ （⟨a2, b2⟩ ◦ ⟨a3, b3⟩），所以◦在G上是可结合的，所以V是半群
设x∈G，⟨1, 0⟩ ∗x=x且x∗⟨1, 0⟩ =x，且⟨1, 0⟩∈S是关于◦运算的单位元，V是独异点
任取⟨a1, b1⟩∈G，逆元为⟨a1, b1⟩^-1=⟨1/a1, -b1/a1⟩∈G，则 ⟨G, ∗ ⟩ 构成群。