点在直线的投影坐标 n维向量投影坐标 几何投影坐标
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一、点在直线的投影坐标
如下图所示，直线l1：y=kx+b，直线外有一点P(x0, y0)，问：点P在直线上的投影坐标为多少呢？
求点P的投影坐标，即是求过点P(x0, y0)的直线l2垂直于直线l1的交点M。由于两条直线相互垂直，则有：k1k2=-1，设过P点的直线l2为：y-y0=-k-1(x-x0),两条直线的交点为M(x1, y1)，那么点P在直线l1的投影为：
以下是Matlab求点P在直线y=kx+b的投影坐标：
clc;clear all;
p=[4 4]; %点p
k=2; %直线斜率
b=1;
X=[0:0.1:10]; Y=k*X+b; %y=kx+b的直线
%% 计算投影点M(x1,y1)
x1=(k*(p(2)-b)+p(1))/(k*k+1);
y1=k*x1+b;
M=[x1 y1] %点P往直线y=kx+b投影后的坐标
%% 绘图
figure();
hold on;axis equal %等比例显示
axis([0 10 0 10])
plot(X,Y,'g'); %绘制y=kx+b的直线
plot(p(1),p(2),'*k');
plot(M(1),M(2),'xr');
title('点往直线投影');
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
二、 点在某方向上的投影坐标
如下图所示，设有两条向量 w1 =[1 2] ， w2 =[3 4]，问w2在w1的投影坐标为多少？
这种问题，有两种解法：
（1）几何投影法：是将问题 转为 “点在直线的投影坐标”，w1的直线斜率为k=2，所以w1直线可表示为y=kx，向量w2即为点P=(3,4)，即用下列公式，直接求解即可：
解得投影点M=(2.2, 4.4)
这种方法，简单也易于理解，不过也繁琐，下面用线性代数几何应用的方法
（2）向量投影法：将问题转为“向量w2在向量w1方向的投影”（这是我做Fisher线性判别，样本投影到直线时，总结出来的，应该没错吧）：
思路：用u表示w1方向的单位向量(即上图中的绿色剪头u，也是w1归一化后的单位向量)，向量w2在向量w1方向的投影坐标,即为向量OM，由几何知识得：
上式中，u是向量w1的单位向量，即：
利用上式，可以得到向量w2在向量w1方向的投影坐标，即点P=(3,4)在直线w1的投影坐标为：
对于Matlab强大的矩阵运算来说，这种运算再适合不过了！！！！！！
（3）推广到d维投影的情况：设有n×d的坐标矩阵A（矩阵A中，共有n行，每行为一个向量，每个向量是d维），坐标矩阵A往某一方向w投影时，其投影坐标矩阵M为：
例如：坐标矩阵A=[ 1 4;2 7;4 5;4 2;3 2;5 6]，这是6×2的坐标矩阵，其投影坐标如图所示：
clc;clear all;
%p=[2 6]; %矩阵点p
A=[ 1 4;2 7;4 5;4 2;3 2;5 6];
k=2; %直线斜率
X=[0:0.1:10];
Y=k*X; %y=kx的直线
wk=[1 k]; %投影的直线方向
wk=wk/sqrt(sum(wk.^2)); %归一化，变为模为1的单位矢量wk
wd= A*wk'*wk;
figure
hold on;
axis equal %等比例显示
axis([0 10 0 10])
plot(A(:,1),A(:,2),'*b');
plot(X,Y,'k');
plot(wd(:,1),wd(:,2),'xr');
xlabel('X1')
ylabel('X2')
grid on 向量投影法只适用于“过原点”的直线投影情况，即点往直线为y=kx投影，对于不过原点的直线y=kx+b,最好还是用几何投影的方法吧，只不过多维的情况，几何方法就问题大了。
这种向量投影法，是鄙人在做模式识别----计算Fisher线性判别时，经常需要将大量的样本点投影到某个方向上，而采用传统的几何投影方法，特别对于多维的情况，过程十分繁杂。后面推论出向量投影方法，问题就好解决了，该方法对于Matlab 强大的 矩阵运算来说，是非常好的，希望对大家有用，娃哈哈~！
