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什么是投影?
计算投影
什么是投影?
正交性 这一概念非常有用。从根本上来说，它使我们能够结构性地将对象 分解成 更简单的对象组合。
我们先来看看第一个正交性现象：
假设 b 是常向量 ，或者可以将 b 看做单词 basis，它就是基向量：
可以将b看做从原点出发，穿过原点线条l ：
我们将开始学习 向量v 投影到 基向量b 的过程。如图：
投影的初入理解：
让 v 从原点出发，然后想象旋转视角 直到 b 和 v 在同一平面。
然后衡量从这个角度的箭头 v 的星等，v 将比实际看起来短些。v 在 b 上投影。如图：
我们表示为 proj b(v) 或者 简写为 v旁边两个小竖线。
投影的深入理解：
画一个直角三角形，斜边是表示 v 的箭头。如图：
如果我们沿着原点画一个向量，该向量也将是 v 在 b 上投影 ，如图：
还有，有一条与线条 I 垂直 ，因此与 b 正交。
如果把它变成一个向量，那么该向量将是 b的正交向量，可以表示为 v 倒置的T 称为 v 垂直。下图：
还记得向量之和吗？从上面得出 向量v = 平行于b的v + 垂直于b的v，这是数学领域经常出现的现象：
结论：给定非零的基向量，我们可以将任何向量表示为两个向量的和，一个是与基向量平行，一个是与基向量正交（垂直）。
计算投影
有什么好办法可以计算 v 在基向量 b 上的投影？
我们先从简单的假设开始。
我们假设 v 和 b 之间的夹角最多 90度。黑色标注。如图：
如果你还记得三角函数，我们可以得出：
调整等式后，得到：
现在，我们将使用之前的点积公式：
把cos代入进去公式，得到：
简化一下，得到：
u sub b 是 b 方向的单位向量，即标准化。
最后，v 的平行长度 等于 v 和 b标准化的点积。如下图：
因为，我们简化地假设 。所以，我们确定 v 平行并和 b 指向同一方向。
因为，我们还知道 b 的标准化是单位向量，所以，它的大小将为1。
这两个事实告诉我们，如果将 b 的标准化 增量 v 平行的长度，实际上会得出向量 v 平行。如图：
现在用那个公式代入：
得到这个等式：
v 平行 就是 b的标准化乘以标量 v.b 的标准化。
如果不做简化假设，会怎么样呢？
如果 大于 90°呢？ 我们来看，这里要加个负号：
还有，v 与 b平行，但是彼此的方向已经相反。所以，这个表达式也要加负号：
但如果，把这个公式代入下面的公式，负号会抵消：
还是得出相同的等式：
所有，无论对这个夹角做出怎样的假设，对于 v 平行始终会得出相同的等式。
编程就是算法和数据结构，算法和数据结构是编程的灵魂。
