独立性和条件独立性测试方法^[1]

独立和条件独立定义：两个变量X, Z是独立的，其中P(Z=z)>0,有：

​ $P(X=x,Z=z)=P(X=x)P(Z=z)$

给定变量集合S，X和Z条件独立，记为$Ind(X,Z|S)$：

$P(X=x,Z=z|S=s)=P(X=x|S=s)P(Z=z|S=s)$， 其中$P(S=s)>0$

方法1：Fisher’s z-Transform for Correlation and Partial Correlation

（1）独立性测试

给定一个包含n个样本的X,Y变量，皮尔森相关系数计算如下：

$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2}}$

Fisher 的r-to-z transformation 其实是将皮尔森相关系数转化成具有正态分布的变量z，$z\sim N({\mu }_z,{\sigma }_z)$:
$z=0.5ln(\frac{1+r}{1-r})$
and
${\mu }_z=0.5ln(\frac{1+\rho }{1-\rho }),{\sigma }_z=\frac{1}{\sqrt{n-3}}$
其中$\rho$是总体皮尔森相关系数
PS总体皮尔森相关系数和样本皮尔森相关系数:

给定显著性水平$\alpha$和皮尔森相关系数$r$，X, Y相关需要满足以下条件：
$z\sqrt{n-3}>{\varphi }^{-1}(1-\alpha /2)$
$\varphi$表示标准正态分布函数

例：假如有一组包含100个样本的X,Y变量组，计算得出二者皮尔森相关系数为 0.4。在95%的置信水平下，有：
$z\sqrt{n-3}=0.5ln(\frac{1+0.4}{1-0.4})\sqrt{100-3}=4.172458$
还有：

${\varphi }^{-1}(1-\alpha /2)={\varphi }^{-1}(1-0.05/2)={\varphi }^{-1}(0.975)=1.959964$
因为前者4.172458大于后者1.959964，所以X和Y不独立（相关的）。

（2）条件独立性测试

给定变量集S情况下，X,Y的条件相关系数计算如下：
$r_{X,Y|S}=\frac{r_{X,Y|S\backslash W}-r_{X,W|S\backslash W}{r}_{Y,W|S\backslash W}}{\sqrt{(1-r_{X,W|S\backslash W}^2)(1-r_{Y,W|S\backslash W}^2)}}$
其中W是变量集S的任意一个变量，

PS：论文^[2]给出了一种计算$r_{X,Y|S}$的高效算法。

给定显著性水平$\alpha$，X和Y在给定变量集S的相关性需满足以下条件：
$z\sqrt{n-|S|-3}>{\varphi }^{-1}(1-\alpha /2)$
其中 |S|表示变量集S的长度，且有：
$z=0.5ln(\frac{1+r_{X,Y|S}}{1-r_{X,Y|S}})$

方法2： Chi-Square Test of Independence and Conditional Independence

（1）独立性检测

构建一个列联表，表示X，Z两个变量的联合频率分布。如下图：

$n_{11},n_{12},n_{21},n_{22}$分别表示$(X=1,Z=1),(X=1,Z=0),(X=0,Z=1),(X=0,Z=0)$的数量，称为观测频率；$n_{1\ast },n_{2\ast },n_{\ast 1},n_{\ast 2}$分别表示$X=1,X=0,Z=1,Z=0$的数量，称为边缘频率。

基于联合频率表，我们可以计算出卡方检验统计量：
${\chi }^2={\sum }_{i=1}^{i=2}{\sum }_{j=1}^{j=2}\frac{(n_{ij}-{\hat{n}}_{ij}{)}^2}{{\hat{n}}_{ij}}$
其中${\hat{n}}_{11},{\hat{n}}_{12},{\hat{n}}_{21},{\hat{n}}_{22}$是期望频率，按照下式计算：
${\hat{n}}_{ij}=\frac{n_{i\ast }{n}_{\ast j}}{n}$

给定置信水平$\alpha$，可以查询卡方分布（自由度为）的值${\chi }_{\alpha }^2$。如果计算出的卡方统计量大于${\chi }_{\alpha }^2$,就拒绝零假设，两者在给定的置信水平下有相关关系。

（2）条件独立性

在条件独立性测试中，测试X和Z在给定变量集S的独立性，我们生成取变量集S每个值情况下的列联表。例如，如果S中只有一个变量W，然后我们给出W=1和W=0两个情况下的列联表，如下图：

条件独立测试中的卡方统计量是所有列联表卡方统计量的总和。例如，如果W=1的表的卡方值为1.7，W=0表的卡方值为0.9，所以最终的卡方统计量的值为1.7+0.9=2.6。类似于非条件独立测试，我们可以通过比较卡方统计量与${\chi }_{\alpha }^2$来判断是否独立。但是需要注意的是，条件独立性测试时自由度为$2^{|S|}$,|S|是变量集S中的变量个数。

参考文献

[1] Practical approaches to causal relationship exploration. LI J,LIU L,LE T D. Springerbriefs in Electrical and Computer Engineering . 2015,LIU L,LE T D. Springerbriefs in Electrical and Computer Engineering . 2015

[2] J. Schaefer, R. Opgen-Rhein, and K. Strimmer. corpcor: Effificient estimation of covariance and (partial) correlation. R package version 1.5, 7, 2010.