最速下降法PPT及MATLAB程序.pptx

最速下降法,最速下降法，也称为梯度下降法，是由法国著名数学家Cauchy在1847年提出的。 最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。 最速下降法是用负梯度方向为搜索方向，算法非常简单，并且通常对凸解析函数也有良好的收敛性。,最速下降法的基本思想,从任意一点xk出发，沿该点负梯度方向pk=-f(xk)进行一维搜索，设f(xk+ kpk)=min f(xk+ pk) ( 0)，令xk+1= xk+ kpk为f(x)新的近似最优解。 再从新点xk+1出发，沿该点的负梯度方向pk+1=-f(xk+1)进行一维搜索，进一步求出新的近似最优解xk+2。 如此迭代，直到某点的梯度为零向量或梯度的范数小于事先给定的精度为止。,给定x0，0，k=0,计算pk=-f(xk),| f(xk)| ,f(xk+ kpk)=min f(xk+ pk) ( 0),xk+1= xk+ kpk，k=k+1,停止，打印xk,Y,N,算法,例. 用最速下降法求函数f (x1, x2)2x12+x22 的极小点,取x0=1,1T , =0.1。,解 由题意得,由于,故进行第一次迭代,从x0=(1,1)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,故进行第二次迭代运算:,令,从x1=(-1/9,4/9)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,令,故进行第三次迭代运算:,从x2=(2/27,2/27)T出发进行一维搜索，即构造,得,从而得,令,停止迭代,故最优解为,最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形,设xk=(xk1 , xk2 xkn),pk=(pk1 , pk2 pkn),则 令( )= f(xk+ pk) = f(xk1 + pk1, xk2 + pk2 ,., xkn + pkn),是一元函数f(xk+ pk)的极值点，,f(xk + kpk)Tpk=0，即(pk+1)Tpk=0。也就是说，有目标函数在一维搜索产生的新点xk+1= xk+ kpk处的梯度与产生该点时所用的搜索方向是正交的。,改进后的算法,精度0，自然数N=2,k=0,Step1:,计算,Step2：,Step3：,如果,，则转Step5；否则进行一维搜索,，令,若k=N,且k/3-k/3=0.则转Step4，否则转Step2.,Step4：,计算,，进行一维搜索,令,，转Step2,Step5：,停止，输出,小结,1、优点： 计算简单，需记忆的容量小；对初始点要求低，稳定性高；远离极小点时收敛快，常作为其它方法的第一步。 2、缺点： 收敛速度较慢。尤其当目标函数等值面是很扁的椭圆、椭球或类似图形时，收敛更慢