雅可比矩阵：一个多元函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵
黑塞矩阵：一个多元函数的二阶偏导数以一定方式排列成的矩阵
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雅可比矩阵
在向量微积分中，雅可比 矩阵是一阶 偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为 雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微 方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
定义
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。
假设某函数从 
映到 
， 其雅可比矩阵是从 到 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设 
是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成： 
。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：
映到 ， 其雅可比矩阵是从 到 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成： 
此矩阵用符号表示为： 
，或者 
如果p是 中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分， 
是在这点的 导数 。在此情况下， 这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有：
实例
由 球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰ 
此坐标变换的雅可比矩阵是
的F函数： 
其雅可比矩阵为:
此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。
逆矩阵
根据 反函数定理，一个可逆函数（存在 反函数的函数）的雅可比 矩阵的 逆矩阵即为该函数的 反函数的雅可比矩阵。 若函数 
在点 
的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一邻域内也是可逆的，且有
成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点 不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在 反函数）。
一个 多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在 复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。
黑塞矩阵
黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
定义
在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。
二元函数的黑塞矩阵
由高等数学知识可知，若 一元函数在 
在 
点的某个 邻域 内具有任意阶导数 ，则 
在 
点处的泰勒展开式 ： 
，其中 
， 
。 二元函数 
在 
点处的泰勒展开式为：
点的某个 邻域 内具有任意阶导数 ，则 ， 。 二元函数 在 点处的泰勒展开式为：
其中， 
。 将上述展开式写成矩阵形式，则有：
。 将上述展开式写成矩阵形式，则有：
即：
其中：
多元函数的黑塞矩阵
将二元函数的泰勒展开式推广到 多元函数， 则 
在 点处的泰勒展开式的矩阵形式为：
其中：
（1） 
，它是 
在 点处的梯度。
（2） 
为函数 在 点处的黑塞矩阵
黑塞矩阵是由目标函数 
在点X处的二阶偏导数组成的 
阶 对称矩阵 。
对称性
如果函数 
在 
区域内二阶 连续 可导 ，那么 黑塞矩阵 
在 内为 对称矩阵
原因：如果函数 的二阶偏导数连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
利用黑塞矩阵判定多元函数的极值
定理
设n多元实函数 在点 
的邻域内有二阶连续偏导，若有：
并且
则有如下结果：
（1） 当A 正定矩阵 时， 在 处是极小值；
（3） 当A 不定矩阵 时， 不是极值点。
（4） 当A为 半正定矩阵 或半负定矩阵时， 是“可疑” 极值点 ，尚需要利用其他方法来判定。
实例
求三元函数 
的极值。
解：因为 
，故该三元函数的驻点是 
。
。 又因为 
，
， 故有： 
因为A是正定矩阵，故 是极小值点，且极小值 
。
因为A是正定矩阵，故 。 
