定义

熵权法是一种客观赋权方法。
原理：指标的变异程度（方差）越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）

如何度量信息量的大小

在这里插入图片描述
通过上面的例子我们可以看出，越有可能发生的事情，信息量越少；越不可能发生的事情，信息量就越多。如果用概率表示的话，即概率越大，信息量越少，概率越小，信息量越大。
如果把信息量用I表示，概率用p表示，那么我们就可以建立一个函数关系:
在这里插入图片描述
假设x表示事件X可能发生的某种情况，p(x)表示这种情况发生的概率，则我们可以定义为：

信息熵

假设x表示事件X可能发生的某种情况，p(x)表示这种情况发生的概率。
在这里插入图片描述
注：当p(x)均为1/n时，H(x)取最大值，此时H(x) = ln n。

算法步骤

1.判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间(后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数)。
在这里插入图片描述
2.计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。

3.计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。

代码

计算熵权：

function [W] = Entropy_Method(Z)
% 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
% 输入
% Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
% 输出
% W：熵权，1*m的行向量%% 计算熵权[n,m] = size(Z);D = zeros(1,m);  % 初始化保存信息效用值的行向量for i = 1:mx = Z(:,i);  % 取出第i列的指标p = x / sum(x);% 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵D(i) = 1- e; % 计算信息效用值endW = D ./ sum(D);  % 将信息效用值归一化，得到权重    
end

由于担心概率为0自己定义的函数：

% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
function [lnp] =  mylog(p)
n = length(p);   % 向量的长度
lnp = zeros(n,1);   % 初始化最后的结果for i = 1:n   % 开始循环if p(i) == 0   % 如果第i个元素为0lnp(i) = 0;  % 那么返回的第i个结果也为0elselnp(i) = log(p(i));  endend
end

总函数：

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为Xclear;clc
load data_water_quality.mat%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);if Judge == 1Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)
end%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)%% 让用户判断是否需要增加权重
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');if Judge == 1if sum(sum(Z<0)) >0   % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')for i = 1:nfor j = 1:mZ(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];endenddisp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:  ')disp(Z)endweight = Entropy_Method(Z);disp('熵权法确定的权重为：')disp(weight)elsedisp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确while OK == 0 if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心OK =1;elseweight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');endendend
elseweight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')