1 叉乘是什么

先简单介绍一下叉乘(cross product)：
在这里插入图片描述

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ，其结果，还是一个向量。
其方向，符合右手螺旋定则（右手手指头从a转向b，看大拇指指向哪里）;
其模，等于 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin\theta$ (其实就是a和b组成的平行四边形面积)

也可以直接用下面的式子表示：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \left | \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{matrix} \right | = (a_ybz - a_zb_y)\overrightarrow{i} + (a_zb_x - z_xb_z)\overrightarrow{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\overrightarrow{k}$
其中， $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ 是3个轴的单位向量。

还可以用矩阵来表示：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = A \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z \end{bmatrix}$

他的重要性质：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}$

2 几何意义

在图形学中，向量的叉乘主要用于计算两个向量所在平面的法向量，以及计算出相机朝向和物体朝向之间的旋转轴，具体应用包括：

计算表面法向量：通过计算两个相邻的三角形的法向量来得到表面法向量，可以用于光照计算和渲染中的纹理映射等。
计算相机朝向和物体朝向之间的旋转轴：在相机跟随和相机旋转等操作中使用。
计算三角形面积：通过向量叉积的模长可以计算三角形面积，可以用于计算多边形的面积和法向量。
计算向量夹角：通过向量叉积的模长和点积的结果可以计算向量之间的夹角，可以用于计算光源和物体的夹角以及阴影的计算等。
判断一个点是否在三角形内

下文针对5，具体讲一下如何使用。

3 使用例子- 判断一个点是否在三角形内

3.1 使用背景

判断一个点，是否在三角形内，有什么用途呢？一个经典的用途是，在光栅化阶段，GPU会去挨个处理每个像素，应该显示什么数据，或者说，显示哪个三角形面的数据。
咱们来最简化的描述这个过程：
假色我们的3D画面非常简单，只有4个顶点，即2个三角形，映射到屏幕上，如下图所示
在这里插入图片描述

现在开始扫描每个像素该显示啥。方法就是，判断是否在2个三角形内，如果不在，就显示默认色了，如果在，就采样三角形的对应纹理色值。
所以，现在的问题，就可以归纳为一个函数：
isInTringle(Trangle tr)

3.2 如何判断

请看下面一组图，Q点在三角形内，可以看看有什么规律：
在这里插入图片描述
向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

再看一组图，Q点在三角形外：
在这里插入图片描述
向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝内；
向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

极端情况，如果Q刚好在三角形的边上，例如P1P2的边上，那么，向量P1P2与P1Q为同方向，螺旋定则芭比Q了，找不到z轴方向，即，z值为0。

结论：只要计算三次叉乘，如果z值有一个为0，则在三角形边上；如果z值正负一致，则在里面；如果z值正负不一致，则在外面

3.3 代码实现

从第一节可知，计算叉乘的 $z$ 值，很简单，为
$a_xb_y - a_yb_x)$
所以，从程序上，可以非常简单的实现了，我们来写个python：

#!/usr/bin/python#这是一个判断一个点是否在三角形内的例子print("Hello, World! Let's do some test");def check_signs(a, b, c):"""判断三个浮点数的符号:param a: 第一个浮点数:param b: 第二个浮点数:param c: 第三个浮点数:return: True 如果三个数都为正数或都为负数，True 否则False"""if a > 0 and b > 0 and c > 0:return Trueif a < 0 and b < 0 and c < 0:return Truereturn Falsedef cal_z_value(v1, v2):"""计算2个三维向量，叉乘的z值"""return v1[0] * v2[1] - v1[1]* v2[0]def subtract_vectors(vector1, vector2):"""计算两个三维向量的差向量:param vector1: 第一个向量，格式为 [x, y, z]:param vector2: 第二个向量，格式为 [x, y, z]:return: 差向量，格式为 [x, y, z]"""x = vector1[0] - vector2[0]y = vector1[1] - vector2[1]z = vector1[2] - vector2[2]return [x, y, z]def is_point_in_triangle(p1, p2, p3, q):"""判断一个点是否在某个三角形内"""p1_q = subtract_vectors(q, p1)p1_p2 = subtract_vectors(p2, p1)z1 = cal_z_value(p1_p2, p1_q)p2_q = subtract_vectors(q, p2)p2_p3 = subtract_vectors(p3, p2)z2 = cal_z_value(p2_p3, p2_q)p3_q = subtract_vectors(q, p3)p3_p1 = subtract_vectors(p1, p3)z3 = cal_z_value(p3_p1, p3_q)print("z1 ",z1)print("z2 ",z2)print("z3 ",z3)return check_signs(z1, z2, z3)"""
p1=[0, 0, 0]
p2=[0.5, 0.5, 0]
p3=[0.5, 1, 0]
q=[0.25, 0.5, 0]
"""#测试代码
p1=[0, 0, 0]
p2=[1, 0, 0]
p3=[0.5, 1, 0]
q=[0.25, 0.35, 0]result = is_point_in_triangle(p1, p2, p3, q)
print("result ",result)