卷积码原理介绍

1.基本概念

首先卷积码是一种纠错码，让我们先从大格局出发，去认识卷积码。如图1所示

图1 纠错码的各种类型

我是先从通信原理书上了解了卷积码的概念，再结合网上部分资料，勉强搞懂，感觉主要需要掌握卷积码编码器、状态图、网状图。基本概念太多，要叙述起来需要花挺多时间的，不过网上这部分资料挺多的，这里就不在全部叙述，仅就部分知识点说一下我的看法。

1.1 编码器状态

以（2，1，2）卷积码例，此时编码器对应的状态共有2^2=4种，如图2所示。图2 （2，1，2）卷积码编码器状态图

由于输入只有0或者1，故每一种状态对应的下一种状态都只有两种情况。值得一提的是，这两种情况对应的输出相互取反，如果一个输入为01，则另一种输入为10，即码距最大。后面我也去理解了一下Viterbi译码，由这个译码原理，我进一步发现编码时一个状态对应不同的输出互相取反的情况是有必要的，是有特殊规定的。因为这样的规定可以使得最大似然译码（MLD） 算法可以在Viterbi译码中成功应用。（由于本篇只论述编码，我还没开始译码的仿真，所以此处不再继续叙述译码。后面了解译码并仿真成功后再进一步叙述我对译码的理解）。

2.(n,1,m)卷积编码及仿真

本实验以（2，1，2）为例。必须知道如何通过生成多项式画出编码器结构，或者从编码器结构写出生成多项式，这部分内容B上面很多讲的挺详细的视频。本次实验的生成多项式为

%一般用八进制表示，为了方便，我用的是二进制。
m = [1 0 0;1 1 1]; %第n行元素分别表示每个编码器（从左至右）与第n个输出码元的连接情况，即行数代表输出码元数列数代表编码器个数即m+1

此代码模仿自这位大佬的作品实验七-卷积编码的MATLAB实现
（如有侵权，告知后立马删！）

%% 测试主函数
clear all
clc
G = [1,0,1;1,1,1]; %%生成多项式
M = [1 1 0 0 1 0 1 1]; %%信息
C = ZW_conv_encode(M,G);

%% 本函数实现卷积编码
function C = ZW_conv_encode(m,G)
%{
输入：原始序列m生成矢量G  每一行代表一个输出的连接结构
输出：卷积码结果C 
特点：适用于所有的[n,1,N]卷积编码
%}
len = length(m);    %记录输入信息长度
k=1;                %每次输入一个码元
[n,N] =  size(G);   %n表示一次有几个码元输出 N表示一次有几个监督码元（包括当前输入）
C = zeros(1,n*len); %储存输出卷积码
% 在头尾补0，方便卷积输出和寄存器清洗
m_add0 = [zeros(1,N-1),m,0]; %初始m个状态均假设为0，补N-1个0 当作新的信息流
%fliplr将矩阵倒序 因为编码器输出的计算是对应的 [输入-m个状态].*G 而m_add0中与所需相反
C_reg = fliplr(m_add0(1,1:N));  %C_reg[输入-m个状态] 因为每次监督的码元为N个，故寄存器中也储存N个码元%开始循环 将每一个输入都得到对应的输出
for i=1:len%生成每一位输入符号的n位输出C(n*i-(n-1):n*i) =  mod(C_reg*G',2);%载入新的输入并更新寄存器状态 C_reg = [m_add0(i+N),C_reg];%此时（1，N+1）C_reg(end) = [];% 挤掉旧符号 最后一个元素直接没有 回到（1，N）
end

经过验证，此函数的卷积编码输出与在MATLAB中直接调用poly2trellis及convenc函数卷积编码后的输出一致。

3.(n,k,m)卷积编码及仿真

做完（n,1,m）的卷积编码还不能罢休，我的任务是完成（n,k,m）的编码与译码，所以首先我还得把(n,k,m)码给仿真出来，这样才算真正理解了。但是网上这部分资料比较少，好在被我发现了一个宝藏文章，自取。poly2trellis（matlab）
在搜索怎么使用MATLAB的时候发现了这个宝藏，让我受益匪浅。从这篇文章可以看出来，实际k个输入就有点类似于k个（n,1,m)卷积码的相叠加，就是把最后结果取异或而已。于是抱着试一试的态度，我又继续尝试了，在于BUG一番斗争后，功夫不负有心人，我成功了！！！！
以（3，2，[2 2]）为例，生成多项式为

G1{1} = [1 0;0 1;1 1];每个元组中对应一个信息码所在编码器的结构
G1{2} = [0 1;1 1;1 1];

%% 测试主函数
clear all
clc
M = [1 1 0 0 1 0 1 1];
%G1{1} = [1 1 1;0 0 1;1 0 0];
%G1{2} = [0 1 0;1 0 1;1 1 1];
G1{1} = [1 0;0 1;1 1];
G1{2} = [0 1;1 1;1 1];
C2 = ZW_conv_K_encode(M,G1);%C3 = [1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0];
C3 = [1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1];  %调用MATLAB内部函数得到的编码情况
C2 - C3 %如输出全为零则此函数编码正确

%% 本函数实现卷积编码
function C = ZW_conv_K_encode(m,G)
%{
输入：原始序列m生成矢量G  元组 每一个细胞对应一个输入的生成式 输入（1，k）
输出：卷积码结果C 
特点：适用于所有的[n,k,N]卷积编码
%}
len = length(m);    %记录输入信息长度
[~,k] = size(G);    %k表示每次输入的信息码元数
if (mod(len,k)~=0)  %说明最后一次输入的时候信息玛不够 times = len/k + 1; %time 为循环次数
elsetimes =len/k;
end%timesm = [m,zeros(1,k)];    %这样总可以让最后一次输入时有k个信息码输入 防止最后一次循环没有输入报错%预先分配内存 加快运行速度
n = zeros(1,k);     %共有k个 每一个表示一个输入对应的编码器结构
N = zeros(1,k);     %不过每个码元对应的输出码元数肯定相同 所以n（i）均相同 
for i=1:k           %求每次输入码元对应的编码器结构[n(i),N(i)] = size(G{i}); %n表示一次有几个码元输出 N表示一次有几个监督码元（包括当前输入）
endC = zeros(1,n(1)*floor(times));%每次循环输入n个码元 
%C1 = zeros(1,n(1));%暂时存储每个输入码元对应的输出码元
C_regs = cell(1,k);  %k个输入 对应k个编码器结构
%初始化每个输入对应的寄存器状态 并送入新的输入
for i=1:k C_regs{i} = [m(i),zeros(1,N(i)-1)]; %对应[输入,m个初始为零的状态] 
endfor i=1:floor(times)    %开始循环 将每一次的k个输入都得到其对应的输出for j=1:k       %对每个输入进行循环 得到C的值C1 = mod(C_regs{j}*G{j}',2); %得到第i次输入时第j个码元的输入结果%上一个输入码元对应的输出加上此时码元对应的输入码元异或（对2取余），则为此时全部输入对应的输入码元C((i-1)*n(j)+1:n(j)*i) = mod(C1+C((i-1)*n(j)+1:n(j)*i),2);%载入新的输入并更新寄存器状态 为下一次的大循环的第j个码元的编码器做准备C_regs{j} = [m(j+i*k),C_regs{j}];%此时（1，k+1）C_regs{j}(end) = [];% 挤掉旧符号 最后一个元素直接没有 回到（1，k）end
end