DIFFUSION POSTERIOR SAMPLING FOR GENERALNOISY INVERSE PROBLEMS

Hyungjin Chung, Kim Jae Chul Graduate School of AI, ICLR 2023 spotlight, Cited:10, Code, Paper.

1. 前言

大多数工作都集中在在无噪声环境中解决简单的线性逆问题，这显著低估了真实世界问题的复杂性。在这项工作中，通过近似后验采样来扩展扩散求解器，有效的处理了一般的有噪声（非）线性逆问题。有趣的是，得到的后验采样方案是扩散采样与流形约束梯度的混合版本，而没有严格的测量一致性投影步骤，在有噪声环境中相比于之前的研究产生了更理想的生成路径。我们的方法展示了扩散模型可以结合各种测量噪声统计，如高斯和泊松，并且也能有效地处理有噪声非线性逆问题，如傅里叶相位恢复和非均匀去模糊。

2. 整体思想

本文的整体思想就是条件扩散模型，与Guided Diffusion是类似的思想，但是本文是从VP-SDE的角度来解决问题的。同样这是一篇非盲求解逆问题的工作。

3. 方法

VP-SDE形势如下，推导过程间Score-Based Generative Modeling Through Stochastic Differential Equations (Paper reading)：
$$\begin{array}{c}d\mathbf{x}=-\frac{\beta (t)}{2}\mathbf{x}dt+\sqrt{\beta (t)}d\mathbf{w}\end{array}$$
目标是从可追踪分布开始恢复数据生成分布，这可以通过下面相应的反向SDE来实现：
$$\begin{array}{c}d\mathbf{x}=\left[-\frac{\beta (t)}{2}\mathbf{x}-\beta (t){\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left({\mathbf{x}}_t\right)\right]dt+\sqrt{\beta (t)}d\overline{\mathbf{w}}\end{array}$$
漂移函数$f(x_t,t)$取决于时间相关的分数函数${\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t({\mathbf{x}}_t)$，该函数由经过去噪分数匹配训练的神经网络$s_{\theta }$近似。对于逆问题，我们有一个由 $x$ 导出的部分测量 $y$。当映射$x\to y$多对一时，我们得到一个ill-posed问题，我们无法精确检索 $x$。在贝叶斯框架中，利用$p(x)$作为先验，来自后验$p(x|y)$的样本，其中关系用贝叶斯规则建立：$p(x|y)=p(y|x)p(x)/p(y)$。利用扩散模型作为先验，可以直接修改(2)获得反向扩散采样器，从后验分布中采样：
$$\begin{array}{c}d\mathbf{x}=\left[-\frac{\beta (t)}{2}\mathbf{x}-\beta (t)\left({\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left({\mathbf{x}}_t\right)+{\nabla }_{x_t}\log p_t\left(\mathbf{y}\mid {\mathbf{x}}_t\right)\right)\right]dt+\sqrt{\beta (t)}d\overline{\mathbf{w}}\end{array}$$
其中${\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t({\mathbf{x}}_t\mid \mathbf{y})$根据这篇文章Guided Diffusion/Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis (Paper reading)得到：
$$\begin{array}{c}{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left({\mathbf{x}}_t\mid \mathbf{y}\right)={\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left({\mathbf{x}}_t\right)+{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left(\mathbf{y}\mid {\mathbf{x}}_t\right)\end{array}$$
为了计算涉前一个项，我们可以简单地使用预训练的得分函数$s_{{\theta }^{\ast }}$。然而，由于对时间$t$的依赖，后一项很难以封闭形式获得，因为 $y$只有和$x_0$之间明确的依赖性。通常的噪声模型可以表示为：
$$\begin{array}{c}\mathbf{y}=\mathcal{A}\left({\mathbf{x}}_0\right)+\mathbf{n},\mathbf{y},\mathbf{n}\in {\mathbb{R}}^n,\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d\end{array}$$
其中，$\mathcal{A}(\cdot ):{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^n$是前向算子，$n\sim N(0,{\sigma }^{2}I)$是高斯白噪声。

因为不存在$p(y|x_t)$的解析公式。为了利用测量模型$p(y|x_0)$，我们将$p(y|x_t)$分解如下:
$$\begin{array}{rl}p(y|x_t)& =\int p(y|x_0,x_t)p(x_0|x_t)d{x}_0\\ & =\int p(y|x_0)p(x_0|x_t)d{x}_0\end{array}$$
因为，$y$和$x_t$是独立的，且$y$和$x_t$是条件独立与$x_0$的，因此，如下图，给定$x_t$求$y$等价于给定$x_t$求$x_0$的概率乘上给定$x_0$求$y$的概率。而$y$和$x_t$之间有一个隐含的变量$x_0$，它可能取不同的值。为了把所有可能的$x_0$都考虑进去，我们就需要对$x_0$进行积分。

由（7）证明了$p(y|x_t)\approx p(y|{\hat{x}}_0)$，我是没太看懂！！

那么就可以用这个近似估计（4）中的梯度了，其中，推导过程见Score-Based Generative Modeling Through Stochastic Differential Equations (Paper reading):
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{x}}}_0:=\mathbb{E}\left[{\mathbf{x}}_0\mid {\mathbf{x}}_t\right]& =\frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha }(t)}}\left({\mathbf{x}}_t+(1-\bar{\alpha }(t)){\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p_t\left({\mathbf{x}}_t\right)\right)\\ & \approx \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha }(t)}}({\mathbf{x}}_t+(1-\bar{\alpha }(t))s_{{\theta }^{\ast }}({\mathbf{x}}_t,t)\end{array}$$
对于不同噪声的任务具有不同的测量模型 $p(y|x_0)$。逆问题中最常见的两个情况是高斯噪声和泊松噪声。在这里，我们探讨了如何适应上述扩散后验采样，高斯噪声的似然函数为：
$$\begin{array}{c}p\left(\mathbf{y}\mid {\mathbf{x}}_0\right)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n{\sigma }^{2n}}}\exp \left[-\frac{{\Vert \mathbf{y}-\mathcal{A}\left({\mathbf{x}}_0\right)\Vert }_2^2}{2{\sigma }^2}\right]\end{array}$$
对其取log再求梯度得：
$$\begin{array}{c}{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p\left(\mathbf{y}\mid {\mathbf{x}}_t\right)\simeq -\frac{1}{{\sigma }^2}{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}{\Vert \mathbf{y}-\mathcal{A}\left({\hat{\mathbf{x}}}_0\left({\mathbf{x}}_t\right)\right)\Vert }_2^2\end{array}$$
算法流程如下，添加Possion噪声的过程基于同样的原理。说实话这种思想已经有很多了，比如Guided Diffusion/Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis (Paper reading)和ADIR: Adaptive Diffusion for Image Reconstruction (Paper reading)这两篇文章都是这种思想，值得注意的是本文是以VP-SDE的角度。所以和这两篇文章仅仅差了一个负号。

实验

在两个具有不同特征FFHQ 256×256和Imagenet 256×256的数据集上测试了我们的实验，每个数据集有1k个验证图像。ImageNet 的预训练扩散模型取自Guided Diffusion，并直接用于针对特定任务进行微调。FFHQ 的扩散模型使用 49k 训练数据（排除 1k 验证集）从头开始训练 1M 步。所有图像都归一化为 [0, 1] 范围。前向测量算子指定如下：（i）对于框类型修复，我们在 屏蔽了 128×128 框区域。 对于随机类型，我们屏蔽了总像素的 92%（所有 RGB 通道）。(ii) 对于超分辨率，执行双三次下采样。(iii) 高斯模糊核的大小为 61×61，标准差为 3.0，运动模糊是使用代码 6 随机生成的，大小为 61 × 61，强度值为 0.5。内核与地面实况图像进行卷积以产生测量。(iv) 对于相位检索，对图像进行傅里叶变换，只取傅里叶幅值作为测量值。所有高斯噪声都被添加到σ = 0.05的测量域中。泊松噪声水平设置为λ = 1.0。