一、粒子群算法的概述

粒子群算法(PSO)属于群智能算法的一种，是通过模拟鸟群捕食行为设计的。假设区域里就只有一块食物（即通常优化问题中所讲的最优解），鸟群的任务是找到这个食物源。鸟群在整个搜寻的过程中，通过相互传递各自的信息，让其他的鸟知道自己的位置，通过这样的协作，来判断自己找到的是不是最优解，同时也将最优解的信息传递给整个鸟群，最终，整个鸟群都能聚集在食物源周围，即我们所说的找到了最优解，即问题收敛。

二、粒子群算法的流程

粒子群算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，粒子仅具有两个属性：速度 $V$ 和位置 $X$ ，速度代表移动的快慢，位置代表移动的方向。每个粒子在搜索空间中单独的搜寻最优解，并将其记为当前个体极值 $P_{best}$ ，并将个体极值与整个粒子群里的其他粒子共享，找到最优的那个个体极值作为整个粒子群的当前全局最优解 $G_{best}$ ，粒子群中的所有粒子根据自己找到的当前个体极值 $P_{best}$ 和整个粒子群共享的当前全局最优解 $G_{best}$ 来调整自己的速度和位置。粒子群算法的思想相对比较简单，主要分为：1、初始化粒子群；2、评价粒子，即计算适应值；3、寻找个体极值 $P_{best}$ ；4、寻找全局最优解 $G_{best}$ ；5、修改粒子的速度和位置。下面是程序的流程图：

（PSO流程）

下面我们具体解释下流程图里面的每一个步骤：

1、初始化

首先，我们需要设置最大的速度区间，防止超出最大的区间。位置信息即为整个搜索空间，我们在速度区间和搜索空间上随机初始化速度和位置。设置群体规模 $m$ 。

2、个体极值与全局最优解

个体极值为每个粒子找到的历史上最优的位置信息，并从这些个体历史最优解中找到一个全局最优解，并与历史最优解比较，选出最佳的作为当前的历史最优解。

3、更新速度和位置的公式

更新公式为：

$V_{id} = \omega V_{id} + C_1random(0,1)\left ( P_{id}-X{id} \right )+C_2random(0,1)\left ( P_{gd}-X_{id} \right )$

$X_{id} = X_{id}+V_{id}$

其中， $\omega$ 称为惯性因子， $C_1$ 和 $C_2$ 称为加速常数，一般取 $C_1=C_2\in\left [ 0,4 \right ]$ 。 $random(0,1)$ 表示区间 $\left [ 0,1 \right ]$ 上的随机数。 $P_{id}$ 表示第 $i$ 个变量的个体极值的第 $d$ 维。 $P_{gd}$ 表示全局最优解的第 $d$ 维。

4、终止条件

有两种终止条件可以选择，一是最大代数： $G_{max}$ ；二是相邻两代之间的偏差在一个指定的范围内即停止。我们在实验中选择第一种。

三、实验

我们选择的测试函数是：Griewank。其基本形式如下：

$min f\left ( x_i \right )=\sum_{i = 1}^{N}\frac{x_i^2}{4000}-\prod_{i=1}^{N}cos\left ( \frac{x_i}{\sqrt{i}} \right )+1$

图像为：

（Griewank函数图像）

在实验中我们选择的维数是20；MATLAB程序代码如下：

主程序：

c1=2;%学习因子
c2=2;%学习因子
Dimension=20;
Size=30;
Tmax=500;
Velocity_max=1200;%粒子最大速度F_n=2;%测试函数名Fun_Ub=600;%函数上下界
Fun_Lb=-600;
Position=zeros(Dimension,Size);%粒子位置
Velocity=zeros(Dimension,Size);%粒子速度
Vmax(1:Dimension)=Velocity_max;%粒子速度上下界
Vmin(1:Dimension)=-Velocity_max;
Xmax(1:Dimension)=Fun_Ub;%粒子位置上下界，即函数自变量的上下界
Xmin(1:Dimension)=Fun_Lb;
[Position,Velocity]=Initial_position_velocity(Dimension,Size,Xmax,Xmin,Vmax,Vmin);Pbest_position=Position;%粒子的历史最优位置，初始值为粒子的起始位置，存储每个粒子的历史最优位置
Gbest_position=zeros(Dimension,1);%全局最优的那个粒子所在位置，初始值认为是第1个粒子for j=1:SizePos=Position(:,j);%取第j列，即第j个粒子的位置fz(j)=Fitness_Function(Pos,F_n,Dimension);%计算第j个粒子的适应值
end
[Gbest_Fitness,I]=min(fz);%求出所有适应值中最小的那个适应值，并获得该粒子的位置
Gbest_position=Position(:,I);%取最小适应值的那个粒子的位置，即I列for itrtn=1:Tmax
time(itrtn)=itrtn;Weight=1;
r1=rand(1);
r2=rand(1);
for i=1:SizeVelocity(:,i)=Weight*Velocity(:,i)+c1*r1*(Pbest_position(:,i)-Position(:,i))+c2*r2*(Gbest_position-Position(:,i));
end
%限制速度边界
for i=1:Sizefor row=1:Dimensionif Velocity(row,i)>Vmax(row)Veloctity(row,i)=Vmax(row);elseif Velocity(row,i)<Vmin(row)Veloctity(row,i)=Vmin(row);elseendend
endPosition=Position+Velocity;%限制位置边界
for i=1:Sizefor row=1:Dimensionif Position(row,i)>Xmax(row)Position(row,i)=Xmax(row);elseif Position(row,i)<Xmin(row)Position(row,i)=Xmin(row);elseendend
endfor j=1:SizeP_position=Position(:,j)';%取一个粒子的位置fitness_p(j)=Fitness_Function(P_position,F_n,Dimension);if fitness_p(j)< fz(j) %粒子的适应值比运动之前的适应值要好，更新原来的适应值Pbest_position(:,j)=Position(:,j);fz(j)=fitness_p(j);endif fitness_p(j)<Gbest_FitnessGbest_Fitness=fitness_p(j);endend[Gbest_Fitness_new,I]=min(fz);%更新后的所有粒子的适应值，取最小的那个，并求出其编号Best_fitness(itrtn)=Gbest_Fitness_new; %记录每一代的最好适应值Gbest_position=Pbest_position(:,I);%最好适应值对应的个体所在位置
end
plot(time,Best_fitness);
xlabel('迭代的次数');ylabel('适应度值P_g');

初始化：

function [Position,Velocity] = Initial_position_velocity(Dimension,Size,Xmax,Xmin,Vmax,Vmin)for i=1:DimensionPosition(i,:)=Xmin(i)+(Xmax(i)-Xmin(i))*rand(1,Size); % 产生合理范围内的随机位置，rand(1,Size)用于产生一行Size个随机数Velocity(i,:)=Vmin(i)+(Vmax(i)-Vmin(i))*rand(1,Size);end
end

适应值计算：

function Fitness=Fitness_Function(Pos,F_n,Dimension)switch F_ncase 1Func_Sphere=Pos(:)'*Pos(:);Fitness=Func_Sphere;case 2res1=Pos(:)'*Pos(:)/4000;res2=1;for row=1:Dimensionres2=res2*cos(Pos(row)/sqrt(row));endFunc_Griewank=res1-res2+1;Fitness=Func_Griewank;
end

最终的收敛曲线：