作者：韩信子@ShowMeAI
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第1门课神经网络和深度学习，第4周：深层神经网络

本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。

引言

在ShowMeAI前一篇文章 浅层神经网络 中我们对以下内容进行了介绍:

神经网络的基本结构(输入层，隐藏层和输出层)。
浅层神经网络前向传播和反向传播过程。
神经网络参数的梯度下降优化。
不同的激活函数的优缺点及非线性的原因。
神经网络参数随机初始化方式

本篇内容我们将讨论深层神经网络。

1.深层神经网络

深层神经网络 Deep Layer Neural Network

我们在前面提到了浅层神经网络，深层神经网络其实就是包含更多隐层的神经网络。下图分别列举了不同深度的神经网络模型结构：

深层神经网络

我们会参考「隐层个数」和「输出层」对齐命名。如上图逻辑回归可以叫做1 layer NN，单隐层神经网络可以叫做2 layer NN，2个隐层的神经网络叫做3 layer NN，以此类推。所以当我们提到L layer NN，指的是包含 $L - 1$ 个隐层的神经网络。

下面我们来了解一下神经网络的一些标记写法。以如下图的4层神经网络为例：

深层神经网络

① 总层数用 $L$ 表示， $L = 4$

输入层是第 $0$ 层，输出层是第 $L$ 层

② $n^{[l]}$ 表示第 $l$ 层包含的单元个数， $l=0,1,\cdots,L$

下图模型中， $n^{[0]}=n_x=3$ ，表示三个输入特征 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$
下图模型中 $n^{[1]}=5$ ， $n^{[2]}=5$ ， $n^{[3]}=3$ ， $n^{[4]}=n^{[L]}=1$

③ 第 $l$ 层的激活函数输出用 $a^{[l]}$ 表示， $a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})$

④ $W^{[l]}$ 表示第 $l$ 层的权重，用于计算 $z^{[l]}$

⑤ 输入 $x$ 记为 $a^{[0]}$

⑥ 输出层 $\hat y$ 记为 $a^{[L]}$

注意， $a^{[l]}$ 和 $W^{[l]}$ 中的上标 $l$ 都是从1开始的， $l=1,\cdots,L$ 。

2.深层神经网络前向运算

深层网络中的前向和反向传播 Forward Propagation in a Deep Network

下面我们来推导一下深层神经网络的前向传播计算过程。依旧是上面提到的4层神经网络，我们以其为例来做讲解。

2.1 单个样本的计算

对于单个样本，我们有：

深层神经网络前向运算

2.2 m个样本的批量计算

对于 $m$ 个训练样本的情况，我们以向量化矩阵形式来并行计算：

深层神经网络前向运算

以此类推，对于第 $l$ 层，其前向传播过程的 $Z^{[l]}$ 和 $A^{[l]}$ 可以表示为：

$Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b^{[l]}$

$A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})$

其中 $l=1,\cdots,L$

3.向量化形态下的矩阵维度

核对矩阵的维数 Getting Your Matrix Dimensions Right

在单个训练样本的场景下，输入 $x$ 的维度是 $n^{[0]},1)$ 神经网络的参数 $W^{[l]}$ 和 $b^{[l]}$ 的维度分别是：

$W^{[l]}: (n^{[l]},n^{[l-1]})$
$b^{[l]}: (n^{[l]},1)$

其中，

$l=1,\cdots,L$
$n^{[l]}$ 和 $n^{[l-1]}$ 分别表示第 $l$ 层和 $l - 1$ 层的所含单元个数
$n^{[0]}=n_x$ ，表示输入层特征数目

对应的反向传播过程中的 $dW^{[l]}$ 和 $db^{[l]}$ 的维度分别是：

$dW^{[l]}:\ (n^{[l]},n^{[l-1]})$
$db^{[l]}:\ (n^{[l]},1)$
注意到， $W^{[l]}$ 与 $dW^{[l]}$ 维度相同， $b^{[l]}$ 与 $db^{[l]}$ 维度相同。这很容易理解。

正向传播过程中的 $z^{[l]}$ 和 $a^{[l]}$ 的维度分别是：

$z^{[l]}:\ (n^{[l]},1)$
$a^{[l]}:\ (n^{[l]},1)$
$z^{[l]}$ 和 $a^{[l]}$ 的维度是一样的，且 $dz^{[l]}$ 和 $da^{[l]}$ 的维度均与 $z^{[l]}$ 和 $a^{[l]}$ 的维度一致。

深层神经网络前向运算

对于 $m$ 个训练样本，输入矩阵 $X$ 的维度是 $n^{[0]},m)$ 。需要注意的是 $W^{[l]}$ 和 $b^{[l]}$ 的维度与只有单个样本是一致的：

$W^{[l]}:\ (n^{[l]},n^{[l-1]})$
$b^{[l]}:\ (n^{[l]},1)$

只不过在运算 $Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b^{[l]}$ 中， $b^{[l]}$ 会被当成 $n^{[l]},m)$ 矩阵进行运算，这是基于python numpy的广播特性，且 $b^{[l]}$ 每一列向量都是一样的。 $dW^{[l]}$ 和 $db^{[l]}$ 的维度分别与 $W^{[l]}$ 和 $b^{[l]}$ 的相同。

不过， $Z^{[l]}$ 和 $A^{[l]}$ 的维度发生了变化：

$Z^{[l]}:\ (n^{[l]},m)$
$A^{[l]}:\ (n^{[l]},m)$
$dZ^{[l]}$ 和 $dA^{[l]}$ 的维度分别与 $Z^{[l]}$ 和 $A^{[l]}$ 的相同。

4.为什么需要深度网络

为什么使用深层表示？ Why Deep Representations?

当今大家看到的很多AI智能场景背后都是巨大的神经网络在支撑，强大能力很大一部分来源于神经网络足够“深”，也就是说随着网络层数增多，神经网络就更加复杂参数更多，学习能力也更强。下面是一些典型的场景例子说明。

4.1 人脸识别例子

如下图所示的人脸识别场景，训练得到的神经网络，每一层的作用有差别：

第一层所做的事就是从原始图片中提取出人脸的轮廓与边缘，即边缘检测。这样每个神经元得到的是一些边缘信息。
第二层所做的事情就是将前一层的边缘进行组合，组合成人脸一些局部特征，比如眼睛、鼻子、嘴巴等。
后续层次逐层把这些局部特征组合起来，融合成人脸的模样。

为什么需要深度网络

可以看出，随着层数由浅到深，神经网络提取的特征也是从边缘到局部特征到整体，由简单到复杂。隐藏层越多，能够提取的特征就越丰富、越复杂，模型的准确率也可能会随之越高。（详细的人脸识别原理可以查看ShowMeAI的文章 CNN应用：人脸识别和神经风格转换 ）

4.2 语音识别例子

语音识别模型也是类似的道理：

浅层的神经元能够检测一些简单的音调
较深的神经元能够检测出基本的音素
更深的神经元就能够检测出单词信息
网络足够深的话，还能对短语、句子进行检测

为什么需要深度网络

神经网络从浅到深，提取的特征从简单到复杂。特征复杂度与神经网络层数成正相关。特征越来越复杂，表达能力和功能也越强。（详细的语音识别原理知识可以查看ShowMeAI的文章 Seq2seq序列模型和注意力机制 ）

4.3 深度网络其他优势

除学习能力与特征提取强度之外，深层网络还有另外一个优点，就是能够减少神经元个数，从而减少计算量。

下面有一个例子，使用电路理论，计算逻辑输出：

$y=x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus\cdots\oplus x_n$

上面的计算表达式中， $\oplus$ 表示「异或」操作。

对于这个逻辑运算，如果使用深度网络完成，每层将前一层的两两单元进行异或，最后到一个输出，如下图左边所示。

这样，整个深度网络的层数是 $log_2(n)$ (不包含输入层)。总共使用的神经元个数为：

$1+2+\cdots+2^{log_2(n)-1}=1\cdot\frac{1-2^{log_2(n)}}{1-2}=2^{log_2(n)}-1=n-1$

可见，输入个数是 $n$ ，这种深层网络所需的神经元个数仅仅是 $n - 1$ 个。

为什么需要深度网络

如果不用深层网络，仅仅使用单个隐藏层，如上右图所示，由于包含了所有的逻辑位(0和1)，那么需要的神经元个数 $O(2^n)$ 是指数级别的大小。

对于其他场景和问题也一样，处理同样的逻辑问题，深层网络所需的神经元个数比浅层网络要少很多。这也是深层神经网络的优点之一。

尽管深度学习有着非常显著的优势，吴恩达老师还是建议对实际问题进行建模时，尽量先选择层数少的神经网络模型，这也符合奥卡姆剃刀定律(Occam’s Razor)。对于比较复杂的问题，再使用较深的神经网络模型。

5.构建深度网络单元块

搭建神经网络块 Building Blocks of Deep Neural Networks

下面用流程块图来解释神经网络前向传播和反向传播过程。

构建深度网络单元块

如图所示，对于第 $l$ 层来说，前向传播过程中，我们有：

输入：$a^{[l-1]} $
输出：$a^{[l]} $
参数： $W^{[l]}$ 、 $b^{[l]}$
缓存变量：$z^{[l]} $

反向传播过程中：

输入：$da^{[l]} $
输出：$da^{[l-1]} $、$ dW^{[l]} $、$ db^{[l]}$
参数： $W^{[l]}$ 、 $b^{[l]}$

上面是第 $l$ 层的流程块图，对于神经网络所有层，整体的流程块图前向传播过程和反向传播过程如下所示：

构建深度网络单元块

6.前向传播与反向传播

前向传播和反向传播 Forward and Backward Propagation

我们继续接着上一部分流程块图的内容，推导神经网络正向传播过程和反向传播过程的具体表达式。

6.1 前向传播过程

令层数为第 $l$ 层，输入是 $a^{[l-1]}$ ，输出是 $a^{[l]}$ ，缓存变量是 $z^{[l]}$ 。其表达式如下：

$z^{[l]}=W^{[l]}a^{[l-1]}+b^{[l]}$

$a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})$

$m$ 个训练样本的形态下，向量化形式为：

$Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b^{[l]}$

$A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})$

6.2 反向传播过程

输入是 $da^{[l]}$ ，输出是 $da^{[l-1]}$ 、 $dW^{[l]}$ 、 $db^{[l]}$ 。其表达式如下：

$dz^{[l]}=da^{[l]}\ast g^{[l]\prime}(z^{[l]})$

$dW^{[l]}=dz^{[l]}\cdot a^{[l-1]}$

$db^{[l]}=dz^{[l]}$

$da^{[l-1]}=W^{[l]T}\cdot dz^{[l]}$

由上述第四个表达式可得 $da^{[l]}=W^{[l+1]T}\cdot dz^{[l+1]}$ ，将 $da^{[l]}$ 代入第一个表达式中可以得到：

$dz^{[l]}=W^{[l+1]T}\cdot dz^{[l+1]}\ast g^{[l]\prime}(z^{[l]})$

该式非常重要，反映了 $dz^{[l+1]}$ 与 $dz^{[l]}$ 的递推关系。

$m$ 个训练样本的形态下，向量化形式为：

$Z^{[l]}=d A^{[l]}\ast g^{[l]\prime} (Z^{[l]})$

$dW^{[l]}=\frac1mdZ^{[l]}\cdot A^{[l-1]T}$

$db^{[l]}=\frac1mnp.sum(dZ^{[l]},axis=1,keepdim=True)$

$dA^{[l-1]}=W^{[l]T}\cdot dZ^{[l]}$

$dZ^{[l]}=W^{[l+1]T}\cdot dZ^{[l+1]}\ast g^{[l]\prime}(Z^{[l]})$

7.参数与超参数

参数 VS 超参数 Parameters vs Hyperparameters

神经网络中有两个大家要重点区分的概念：参数(parameters)和超参数(hyperparameters)。

神经网络中的参数就是我们熟悉的 $W^{[l]}$ 和 $b^{[l]}$ 。
神经网络的超参数是例如学习率 $\alpha$ ，训练迭代次数 $N$ ，神经网络层数 $L$ ，各层神经元个数 $n^{[l]}$ ，激活函数 $g (z)$ 等。
之所以叫做超参数，是因为它们需要提前敲定，而且它们会决定参数 $W^{[l]}$ 和 $b^{[l]}$ 的值。

参数与超参数

如何设置最优的超参数是一个比较困难的、需要经验知识的问题。通常的做法是选择超参数一定范围内的值，分别代入神经网络进行训练，测试cost function随着迭代次数增加的变化，根据结果选择cost function最小时对应的超参数值。这类似于机器学习中的实验验证的方法。(关于机器学习的模型评估详见 ShowMeAI文章图解机器学习 | 模型评估方法与准则)