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HMM模型的5元组

每个模型都有自己相关的概念，弄清算法之前我们先来看看这个模型的基本概念，5元组。
（S,K,π,A,B）：以上分别对应了HMM中的5个重要概念
S：隐藏状态的集合（Sun Cloud Rain），N为隐状态个数 N=3
K : 输出状态或者说观测状态的集合（Soggy Damp Dryish Dry），M为观测状态个数M=4
π : 对应隐藏状态的初始化概率 （sun : 0.5 cloud : 0.3 rain : 0.2）
A : 隐藏状态的状态转移概率，是一个$N\ast N$的概率矩阵
B : 隐藏状态到观测状态的混淆矩阵，是一个$N\ast M$的发射概率矩阵
另外符号体系中会有对于每个序列的状态序列和观测序列，如一周的观测和状态，定义下
X : 某特定观测序列
O : 某特定隐藏状态序列
仍然是盗的图，方便大家看一下，和我上面写的基本一致。来自《统计学自然语言处理》

HMM中的3个经典问题

关于HMM这个模型建立起来之后，其实有很多问题可以去讨论，但是一般讲学中我们讨论3个问题，即评估，预测，学习，下面我们来一起看一波吧~
这里为了解释方便，请大家无条件的接受以下两个基础条件：

• 已知对应问题的观测状态集合K
• 已知对应问题的隐藏状态集合S

如果没有以上两个问题，可能就不太属于今天要讨论的范畴了，可能属于聚类后者其他研究，总之这里我们不予考虑。
3个经典问题如下：

• 观察序列概率的计算评估（前向算法）
• 隐藏状态序列最大概率解预测（维特比算法）
• 马尔科夫参数求解（π,A,B）学习（EM算法前后向算法）

How - HMM模型中的3个经典问题

评估

评估描述

给定观测序列O（o1,o2,…,oT）和模型u = (π,A,B),求出P(O | u), 即给定模型下观测序列的概率是多少？对应于之前的例子，就是给定天气的转移矩阵，天气和苔藓的发射矩阵，以及天气的初始化列表（这些都是已知的，以前统计好的，具体方法这里不用纠结）。然后求出给定一周苔藓的状态，你判断这个状态存在的概率有多大（这个评估这里只是介绍方法，想想感觉这个案例这里没有什么特别大的实际意义）。

评估理论推导

解决该问题有个很直观的想法就是把所有的隐藏状态都走一遍，然后看对应观测状态概率有多大，一起加起来就是这个状态的可能性。我们用数学式子表示如下：
自己写公式还是很费力的，第二个公式中$b_{XTXT+1OT}$这种写法是因为有些HMM模型的发射概率是在发射弧上面，即和该状态与下状态有关，所以写成这种样子，有时候如果只与当前状态有关可以写成$b_{tOt}$的形式。
第一个公式：利用全概率公式求解所有可能隐状态序列下的概率之和。
第二个公式：已知状态下序列的概率。
第三个公式：任意隐藏序列的概率。
第四个公式：利用每个概率表示公式1，这里$b_{XtOt}$表示了发射只与当前状态有关，与2略不同，只是多了一个假设条件便于表示。另外此处说明下由于序列长度不同，该公式可能与其他某些书中公式有点差异，但基本思想一致，只不过具体表现上针对不同情况略有不同。最后一个$b_{XTOT}$是在连乘之后的，不在求积符号里面！

好了，公式也推到了，写写代码就能跑了（完结撒花~）！
其实并没有进度条君命还长呢，我们仔细看看上面公式，计算一下时间复杂度。一共N^T次方的可能序列，好了打住，不用往后看了，这已经指数级别了。我们可以看到计算公式里面实际是由大量冗余乘法计算的，现在给大家介绍动态规划的前向算法来巧妙的解决实际计算问题。