一、问题重述

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n)。

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

问题1：建立数学模型分析如何可持续捕获即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变，并且在此前提下得到最高的年收获量即捕捞总重量最高。

二、问题分析

对于问题一，由于鱼群的死亡是随时间连续发生的属于连续性指标，而鱼群的繁殖与捕捞具有季节性。首先计算得出一年中各个年龄组鱼群的数量变化关系，基于4组不同年龄的鱼群成活率与死亡率情况，然后推算出鱼群的产卵率、自然死亡率，年龄随时间变化等诸因素与鱼群数量的关系，最后建立鱼群捕捞微分模型。

由于要求每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群维持不变，本文建立以捕捞鱼群总重量最高为目标函数，每年渔场中各年龄组鱼群不变为约束条件的非线性规划模型。

三、模型假设

1.假设题目所给的数据真实可靠；
2.不考虑鱼群的迁徙问题；
3.假设4组鱼群发生的都是自然死亡；
4.假设相邻年龄组的鱼群发生的变化是连续的；
5.假设4龄鱼在第 年初全部死亡；
6.假设鱼群数目是时间的连续可微函数

四、定义与符号说明

五、模型的建立与求解

5.1优化鱼群捕捞微分模型

5.1.1鱼群捕捞微分模型

由于鱼群是“季节性集中产卵繁殖”，并且该鱼的繁殖期为每年后四个月，而排卵是短时间内完成的任务。故鱼群在九月初能完成产卵任务。

首先找到各年龄组鱼群在一年内的数量变化规律。根据渔业管理部门规定1、2龄鱼不会被捕捞，因此它们在全年内所以只受自然死亡率的影响，即满足以下关系：

对于3、4龄鱼，不仅考虑鱼群的自然死亡还要考虑被捕捞引起的鱼群数量减少，因此将3、4龄鱼群数量关系可以分为两个阶段，第一阶段是从1月到8月，此时间段内它们数量变化的关系应该为：

第二阶段从9月到12月，此时间段内3龄鱼和4龄鱼数量变化的关系为：


由繁殖特点和年龄变化规律可知，3、4龄鱼在第j年产的卵所孵化成活的鱼群在年初全部转换为1龄鱼；第j年末的1、2龄鱼在第j+1年初全部变为第2、3龄鱼；而第4龄鱼在第j+1年初全部死亡。可知在第j+1年年初时，1龄鱼的数量应该为第j年3龄鱼和4龄鱼产下的卵中成活下来的数量之和，即：

5.1.2优化鱼群捕捞微分模型

在保证可持续捕获的基本条件下，即确保每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变，得到最高捕捞总重量方程：

根据上述各个年龄组鱼群数量公式进行递推，最后得到约束条件为：

为了更好的描述捕捞强度系数 与年捕获量之间的对应变化关系，本文在得到可持续捕捞的前提下，绘制出年捕获量n随捕捞强度系数 变化的图像，如图所示。

由图可知，年捕捞量n关于捕捞强度系数的关系为单峰函数。当捕捞强度系数k =17.3000或k =17.4000，得到最大值f =3.8871e+011；而当k过大时，即过渡捕捞，鱼群一定不能维持可持续发展状态，所以捕捞强度系数k有极限，最后编程求得k最大为31.39。

六、模型评价与推广

6.1模型优点

本文就捕鱼问题建立一个非线性优化问题，该模型既考虑了鱼群变化的连续性，也考虑了繁殖的离散性。在保证“持续捕捞”的前提条件下,使渔获量达到最大。本文模型具有广泛的普遍性和适用性:只要改变其中的部分参数值,即可应用于其它种群的生存和开发问题。以此模型为理论基础,可制定出开发可再生资源的最优策略,具有现实意义。

6.2 模型缺点

本文建立的优化模型局部搜索能力较差、搜索精度不够高、不能保证搜索到全局最优解、容易陷入局部极小解。

6.3 模型改进

在模型建立过程中，值得进一步考虑的是高龄鱼在产卵时刻的分布问题，如是否服从正态分布。本文所建立的模型对于产卵、孵化的简化使得计算结果稍微偏离实际，未考虑自然资源和经济因素的影响，故后续可以引入此种鱼的价格因素，来合理改变各年的捕捞强度，以得到最大的收获。同时考虑鱼群的季节性洄游并深入了解此鱼的洄游习性，在洄游期适当增大捕捞强度，可以时的总捕捞量更大。

七、参考文献

[1]王玮明,林素青.可持续发展捕鱼策略模型及其应用[J].黑龙江大学自然科学学报,2004,02:18-21+24.
[2]武亦文.具有年龄结构的单种群最优捕获策略模型研究[D].重庆大学,2006.
[3]姜晏,林学挺,盘继庚.最优捕鱼策略[J].湖南税专学报,1996,04:72-75.
[4]刘国玲,屈华波,郑群英.最优捕鱼模型[J].数学的实践与识,1997,01:25-28.
[5]白利华,何尚录,栗永安.按固定努力量捕捞方式的最优捕鱼策略[J].兰州铁道学院学报,1997,01:83-86.
[6]张吉昌,李显森,赵宪勇,应一平.中东大西洋中部海域小型中上层鱼类集群形态与时空分布特征[J].海洋渔业,2017,3906:601-610.
[7]唐浩.基于海上实测和模型试验的金枪鱼围网沉降性能分析[D].上海海洋大学,2014.

八、附件

附件一：

function y=max1(n,k)
y=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-0.28*k-2.4)/(1-exp(-2/3*k-0.8))*(1-exp(-2/3*(0.8+k)))
end
function n=fun1(k)
n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)))-1)
end

附件二：

for k=1:1:20n=fun1(k);f=max1(n,k);k;f;
end

进一步试求K=17.0:0.1:18的精确度fmax时的k值

for k=17:0.1:18n=fun1(k);f=max1(n,k);k;f;
end

改进精确度K=17.3:0.01:17.4求fmax时的k值：

for k=17.3:0.01:17.4n=fun1(k);f=max1(n,k);k;f;
end