抽样技术--简单随机抽样

article/2025/9/16 15:42:01

文章目录

  • 简单随机抽样
  • 简单估计量及其性质
    • 对总体均值的估计
      • 简单随机抽样
      • 简单例子
    • 对总体总量的估计
      • 例子
    • 对总体比例的估计
      • 例子
  • 比率估计量及其性质
    • 辅助变量
    • 比率估计量
      • 总体均值的期望咋算
      • 总体均值的方差咋算
      • 总体总值的期望咋算
      • 总体总值的方差咋算
      • 比率估计量的方差咋算
      • Y与X的总体协方差
      • X的总体方差
      • Y与X的总体相关系数
      • Y的相对方差（变异系数）
      • Y与X的相对协方差
      • X的相对方差（变异系数）
  • 回归估计量及其性质
  • 各种估计量的精度的比较
  • 简单随机抽样的实施
    • 总体方差的估计
    • 其他影响因素
    • 设计效果

简单随机抽样

一次抽n个、逐次不放回抽n个、从所有的排列组合里抽一个

简单估计量及其性质

对总体均值的估计

简单随机抽样

在简单随机抽样里，咱用样本均值来估计总体均值（这个估计无偏）
在这里插入图片描述

在简单随机抽样里，样本的方差这样算
在这里插入图片描述
这样算出来的还是总体方差的无偏估计
在这里插入图片描述

简单例子

在这里插入图片描述
咱先嗯算一波样本的均值和方差
在这里插入图片描述
然后直接用样本的均值和方差来构造总体的均值和方差
在这里插入图片描述
这就算出来了

对总体总量的估计

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
上面的一堆公式就是说咱可以用样本的均值算出总体的估计，然后这个估计还是无偏的
在这里插入图片描述
上面这两个公式不知道在讲什么鬼
（其实就是算的如何用样本方差来估计总量估计值的方差）

例子

在这里插入图片描述
首先我们要估计总量，总量就是总体个数*样本均值，很简单

然后为了算极限相对误差，我们要算出总体估计值的标准差s，然后计算方差

我们能计算的只有样本的方差，所以最后还是用的样本的方差表示总体估计值的方差
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对总体比例的估计

我们要估计某一类特征的单元占总体单元数的比例P
对于一个特征A，我们先设计一个估计量Y，将总体单元分为两类
在这里插入图片描述
那么P就可以算出来了
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
很爽的是，对于简单随机抽样，样本的p是总体的P的无偏估计

总体的方差可以这样通过样本来算出来

意思就是，如果要算总体的方差V(P)，那么只用算样本的方差v(p)就行了
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例子

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先嗯算一波样本的比例p，由于p是P的无偏估计，所以就得出答案了
再算一波置信区间，这个要先算p的方差
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比率估计量及其性质

主要变量不好搞，咱就搞辅助变量

辅助变量

就是搞一个辅助变量出来
辅助变量有几个条件

  • 辅助变量要和主要变量高度相关
  • 辅助变量的总体总值要已知

比率估计量

主要变量的比率估计量有两个

  • 总体均值的比率估计量
    在这里插入图片描述
  • 总体总值的比率估计量
    在这里插入图片描述
    这句话👴看不懂，以后再说
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就算样本数n比较大的时候，r也不是R_hat的无偏估计，但是是近似无偏的（n比较大的时候）
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总体均值的期望咋算

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总体均值的方差咋算

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总体总值的期望咋算

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总体总值的方差咋算

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比率估计量的方差咋算

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Y与X的总体协方差

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X的总体方差

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Y与X的总体相关系数

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Y的相对方差（变异系数）

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Y与X的相对协方差

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X的相对方差（变异系数）

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回归估计量及其性质

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对于简单随机抽样，如果β为常数，则回归估计量的期望和方差如下图所示
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既然给出了回归估计量的方程，我们可以计算出使回归估计量最小的β0
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对于一般情况，当n足够大的时候，我们也可以这样计算回归估计量的期望和方差
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

各种估计量的精度的比较

  • 当n足够大的时候
    对于以上三种估计，其方差为
    在这里插入图片描述
    此时回归估计的结果要好于简单估计

  • 当n不够大的时候

    • 回归估计的抽样误差与比率估计相差不大
    • 回归估计的均方误差比比率估计的大，且随着n的增大而增大

简单随机抽样的实施

费用计算
在这里插入图片描述
求解抽样的样本数n
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总体方差的估计

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其他影响因素

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设计效果

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http://chatgpt.dhexx.cn/article/qBbeSZst.shtml

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