变分法入门介绍

读完这篇博文你可以了解变分的基本概念，以及使用变分法求解最简泛函的极值。本文没有严密的数学证明，只是感性地对变分法做一个初步了解。

泛函和变分法

给定两点 $A(x_0, y_0)$ 和 $B(x_1, y_1)$ ，求AB两点之间的最短距离。两点之间直线最短，这还用球吗？可是为什么是直线最短呢，而不是其它曲线？

设链接AB两点的曲线为 $f (x)$ ,则AB之间的距离可以表示为在区间 $x_0, x_1]$ 上求 $\Delta{S}=\sqrt{(\Delta{x})^2 + (\Delta{y})^2}$ 线段的累积长度（积分的思想）：

$S=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

在这里该函数的变量是 $f$ ，即函数的变量为函数，我们需要求解出合适的 $f$ 使得 $S$ 最小。我们把这样的函数 $S$ 称为泛函数。

定义：泛函是以函数为变量的函数。

那么什么是变分法呢？求泛函极值的方法称为变分法。

变分法求泛函极值

变分的定义

下面给出变分的定义：对于任意定值 $x\in [x_0, x_1]$ ，可取函数 $y (x)$ 与另一可取函数 $y_0(x)$ 之差 $y(x) - y_0(x)$ 称为函数 $y (x)$ 在 $y_0(x)$ 处的变分或函数的变分，记做 $\delta{y}$ ，这时有 $\delta{y}=y(x) - y_0(x)=\epsilon\eta(x)$ ， $\epsilon$ 是一个很小的数， $\eta(x)$ 是 $x$ 的任意参数

对于泛函 $J [y (x)]$ 的增量 $\Delta{J}=J[y(x)+\delta{y}] - J[y(x)] = \delta{J} + \mathcal{o}(\delta{y})$

泛函的增量 $\Delta{J}$ 与变分 $\delta{J}$ 之差是一个比一阶距离更高阶的无穷小，泛函的变分是泛函增量的线性主要部分。

变分的定义是不是跟微分很像（微分的定义 $\Delta{y}=A\Delta{x}+\mathcal{o}(\Delta{x})=dy+\mathcal{o}(\Delta(x)$ ， $A$ 是该点的导数）。类比一下，我们在高等数学中学习到的函数极值的必要条件是函数导数等于0，而泛函极值的必要条件也是泛函的变分等于0。

所以有如下定理：若泛函 $J [y (x)]$ 在 $y = y (x)$ 上达到极值，则它在 $y = y (x)$ 上的变分 $\delta{J}$ 等于零。这就是变分原理。

拉格朗日函数

设 $F (x, y (x), y^{'} (x))$ 是三个独立变量 $x$ ， $y (x)$ ， $y^{'} (x)$ 在区间 $x_0, x_1]$ 上的已知函数，且二阶连续可微，其中 $y (x)$ 和 $y^{'} (x)$ 是 $x$ 的未知函数，则泛函

$J[y(x)]=\int_{x_0}^{x_1}F(x, y(x), y'(x))dx$

称为最简单的积分形泛函，简称最简泛函，被积函数 $F$ 称为拉格朗日函数。

对于拉格朗日函数，其泛函的变分为

$\delta{J} = \int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta{y} +F_{y'}\delta{y'})dx = \int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta{y})dx + (F_{y'}\delta_{y}|_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1}(\delta_{y}\frac{d}{dx}F_{y'}d{x})=\int_{x_0}^{x_1}(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'})\delta{y}dx$