频域周期延拓只是表面现象，其实质是不同的信号采样后的像可能相同，不可区分。

如果硬要做实验，还是要有一定的编程基础。起码要整一个声音出来，让你听一听。可是你要重复这一实验可能又太难了，所以我还是讲一讲简单的数学原理， 并用简单的三角函数及程序验证，让你看一看更直观。

已知 ：

(1) 1Hz的连续余弦信号x1(t)， 对其采样， 采样频率是 Fs = 10 Hz， 得到了1连串的数值x1[n] ;

(2) 11Hz的连续余弦信号x2(t)， 对其采样， 采样频率是Fs = 10 Hz， 得到了1连串的数值x2[n]

画出x1[n]和x2[n]的图像，比较它们的异同。
%% 用 Matlab 运行
clc; close all;
Fs = 10 % 采样频率 10 Hz
Ti = 1.0/Fs % 采样时间间隔
t = 0:Ti:2 % 时间变量 2 秒

%% 信号 1
f1 = 1
x1 = cos(2pif1*t)
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t, x1,’-o’)
legend(‘x1[n]’)

%% 信号 2 绘图
f2 = 11
x2 = cos(2pif2t)
figure(1)
subplot(2,1,2)
plot(t, x2, 'r-’)
legend(‘x2[n]’)

你猜这两个信号绘出的时域图有什么区别? 答案是没有区别! 看图:


上图对应采样频率11Hz采样点，一族信号。

重要结论: 如果不同的两个连续信号 x1(t)、x2(t)的频率满足一定条件，用频率Fs采样，得到的离散的"像" x1[n]和x2[n]不可区分。

换句话说: 通过对x1(t)的采样， 我们实际上同时得到了x1(t), x2(t), 甚至 x3(t), …, xn(t) 的采样的像。 它们的“像”是完全等价的, 不可区分。这一组信号 x_n(t) 只需满足:x_n(t) = cos( n * Fs + f_1)其中，n 是整数,Fs 是采样频率。

也就是说，任何信号的采样，它不仅表示它自己，它还表示一族信号。这一族信号就是该信号的周期延延。
在数学上，这一族信号中不同的信号间的间隔为nFs。
余下可以不看(1) 验证 x2[n] == x1[n] 我们用x2的变量减x1的变量，得到相位差： = 2pif2t - 2pif1t = 2pi*(f2-f1)t = 2pi*(f2-f1)[0:Ti: T] = 2pi*(f2-f1)[0:1/Fs: T] = 2pi*(11-1)[0:1/10: T] = 2pi*[0:1:10* T] = 2n 这意味着在相同的时刻，x2与x1始终保持相同的相位差(2 pi 的整数倍)。因为三角正余弦函数的周期是$2\pi$， 两个相位差为 2n 的三角函数 x2[n] 与 x1[n] 相等。
(2)推广： 当 f2-f1 = n*Fs 时， 上面的结论仍然满足，n 是整数 。

(3) 坏消息: 因为不同的信号有相同的像，所以我们不能仅通过它们的像来判断原始信号到底是哪一个。于是，为了恢复出原信号， 就需要知道原信号的分布频段， 通过设计相应的低通或带通滤波器， 将其它像抑制掉， 就可以啦。
下面是信号恢复的原理。当信号的带宽比较宽（比较胖 ）的情况下, 即信号带宽 B > Fs，我们会发现这些像在频率轴上部分叠在一起，无法分开。这种情况就是再好的滤波器也不起作用了。
**所以，采样的时候要保证 Fs > B，否则在频域一定会发生不可逆转的混叠干扰。 这就是著名的奈氏采样定理。**对于实信号，Fs > B = 2B’, 其中 B’ 是信号的正半轴带宽。