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1、 多径信道传输模型

从信号传输的基本模型入手。考虑如下式所示的线性时不变系统，
$$y(t)=h(t)\ast x(t)=\int h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int h(t-\tau )x(\tau )d\tau (1)$$

其中，$x(t)$ 表示输入信号，$h(t)$表示信道冲激响应，$y(t)$表示接收信号。则离散形式为
$$y(n)=\sum _{l=0}^{L-1}h(l)x(n-l)(2)$$

式（2）是多径信道下的信号传输模型。$L$表示多径信道的阶数。

2、OFDM循环前缀的作用

对于OFDM来说，发射信号$x(n)$由IFFT运算（有效信号）和添加循环前缀（CP）得到，其中有效信号可以表示为
$$x(n)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{k=1}^{N}X(k)e^{j2\pi \frac{nk}{N}},n=1,\dots ,N,k=1,\dots ,N(3)$$

式中，$X(k)$为第$k$个子载波上的发射信号，$N$为IFFT的点数（也是一个OFDM符号时域有效信号$x(n)$的样点数目)。

对于单个OFDM符号，接收信号（2）的矩阵形式如下：
$$\left[\begin{array}{c}y(-N_{CP})\\ ⋮\\ y(-1)\\ y(0)\\ y(1)\\ y(2)\\ ⋮\\ y(N-2)\\ y(N-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}h(0)& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ ⋮& \ddots & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ h(L-1)& \cdots & h(0)& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& h(L-1)& \cdots & h(0)& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮& h(0)& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& h(L-1)& & h(0)& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \ddots & & \ddots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \ddots & & h(0)& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& h(L-1)& \cdots & h(0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(-N_{CP})\\ ⋮\\ x(-1)\\ x(0)\\ x(1)\\ x(2)\\ ⋮\\ x(N-2)\\ x(N-1)\end{array}\right](4)$$

式中，$N_{CP}$表示CP的长度。

CP的第一个作用：避免符号间干扰。 由于多径的作用，前一时刻的信号会对当前时刻的信号造成影响。因此，为了保证上一个OFDM不会对当前OFDM符号造成影响，CP的长度必须满足$N_{CP}\ge L-1$。在式（4）中，$N_{CP}=L$。

CP的第二个作用：消除子载波间干扰。 这一部分不容易直观理解，需要经过一部分推导。

3、CP如何消除子载波间干扰

为了说明这个问题，继续观察式（4）。从CP的定义出发，循环前缀指的是将发射信号的后面一部分信号复制，并添加到前面，即$x(-1)=x(N-1),\dots ,x(-N_{CP})=x(N-N_{CP})$ 。在接收端去除CP，并利用这个性质，可以将式（4）表示为
$$\left[\begin{array}{c}y(0)\\ y(1)\\ y(2)\\ ⋮\\ y(N-2)\\ y(N-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& h(L-1)& \cdots & h(0)& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮& h(0)& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& h(L-1)& & h(0)& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \ddots & & \ddots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \ddots & & h(0)& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& h(L-1)& \cdots & h(0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(-N_{CP})\\ ⋮\\ x(-1)\\ x(0)\\ x(1)\\ x(2)\\ ⋮\\ x(N-2)\\ x(N-1)\end{array}\right](5)$$
$$\left[\begin{array}{c}y(0)\\ y(1)\\ y(2)\\ ⋮\\ y(N-2)\\ y(N-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}h(0)& 0& 0& 0& h(L-1)& h(1)\\ ⋮& h(0)& 0& 0& 0& h(L-1)\\ h(L-1)& & h(0)& 0& 0& 0\\ 0& \ddots & & \ddots & 0& 0\\ 0& 0& \ddots & & h(0)& 0\\ 0& 0& 0& h(L-1)& \cdots & h(0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(0)\\ x(1)\\ x(2)\\ ⋮\\ x(N-2)\\ x(N-1)\end{array}\right](6)$$

也就是说，由于CP性质，可以将式（5）中信道矩阵的左上角元素，搬移到式（6）中信道矩阵的右上角，且完全不会改变等号的成立。即，CP-OFDM将线性卷积运算转换为了循环卷积运算。

将（6）写为矩阵形式，即
$$\mathbf{y}=\mathbf{Gx}(7)$$

其中，$\mathbf{G}\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$为时域信道矩阵。根据OFDM接收端的操作，需要对接收信号进行FFT运算，可以得到频域信号形式，即
$$\mathbf{r}=\mathbf{Fy}=\mathbf{FG}{\mathbf{F}}^H\mathbf{s}(8)$$

式中，$\mathbf{F}\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$表示傅里叶矩阵，$\mathbf{s}=[X(1),\dots ,X(k),\dots ,X(N){]}^T\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$表示频域发射信号（见式（3））。

注意： 式（7）中$\mathbf{G}$是一个Toeplitz矩阵，具有循环移位特性，如下图所示。

定义$\mathbf{H}=\mathbf{FG}{\mathbf{F}}^H$，利用 托普利兹矩阵_百度百科的性质，则$\mathbf{H}$是一个对角矩阵，式（8）可以表示为
$$\left[\begin{array}{c}r(0)\\ r(1)\\ r(2)\\ ⋮\\ r(N-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}H(0)& & & & \\ & \ddots & & & \\ & & H(k)& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & H(N-1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X(0)\\ ⋮\\ X(k)\\ ⋮\\ X(N-1)\end{array}\right](9)$$

式中，$H(k)$表示$\mathbf{H}$的第$k$个对角线元素。从式（9）可以看到，每一个子载波的接收信号与发射信号一一对应，且其他子载波的信号对当前子载波完全没有影响。也就是说，子载波之间不会产生任何干扰，即消除了子载波间干扰。OFDM结合循环前缀，可以使信道均衡、信号解调等在频域并行处理，大大降低了系统复杂度。

此外，上面的过程解释了OFDM时域传输模型以及频域传输模型的等价关系。

4、OFDM频域与时域信道系数的关系

现在还有一个问题，如何确定频域信道系数$H(k)$与时域信道系数$h(l)$之间的关系呢？

为了解决这个问题，考察特征值和特征向量。

根据$\mathbf{H}=\mathbf{FG}{\mathbf{F}}^H$，可知$H(k)$是Toeplitz矩阵$\mathbf{G}$的特征值，相应的特征向量为${\mathbf{F}}^H$的第$k$列。为什么呢？因为${\mathbf{F}}^H\mathbf{H}=\mathbf{G}{\mathbf{F}}^H$。
考虑矩阵两边的第$k$个列向量，可得$\mathbf{G}{\mathbf{f}}_k=H(k){\mathbf{f}}_k$，其中${\mathbf{f}}_k$是${\mathbf{F}}^H$的第$k$列，也就是$\mathbf{F}$的第$k$行。这与特征值和特征向量的表达式完全相同。基于以上讨论，我们下面来说明如何计算$H(k)$。

定义：$W_N=e^{-\frac{j2\pi }{N}}$，以及$\mathbf{G}{\mathbf{f}}_k=H(k){\mathbf{f}}_k$的等价形式，即
$$\frac{1}{\sqrt{N}}\left[\begin{array}{ccccc}{p}_0& p_1& p_2& \cdots & p_{N-1}\\ p_{N-1}& p_0& p_1& \cdots & p_{N-2}\\ p_{N-2}& p_{N-1}& p_0& \cdots & p_{N-3}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_1& p_2& p_3& \cdots & p_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_N^0\\ W_N^{-k}\\ W_N^{-2k}\\ ⋮\\ W_N^{-(N-1)k}\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{N}}H(k)\left[\begin{array}{c}{W}_N^0\\ W_N^{-k}\\ W_N^{-2k}\\ ⋮\\ W_N^{-(N-1)k}\end{array}\right](10)$$

为了计算$H(k)$的表达式，我们观察式（6）和（10）中的Toeplitz矩阵$\mathbf{G}$和$\mathbf{P}$，
有${\mathbf{P}}_{m,n}=p_{(n-m)\text{mod}N}$，$p_l=h_{(N-l)\text{mod}N}$，其中$m,n,l=0,1,2,\dots ,N-1.$。
因此，式（10）等号左边：矩阵$\mathbf{P}$的第$(m+1)$行与IDFT矩阵第$k$列的内积有
$$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{p}_{(n-m{)}_N}{W}_N^{-nk}=\frac{1}{\sqrt{N}}{W}_N^{-mk}\sum _{n=0}^{N-1}{p}_{(n-m{)}_N}{W}_N^{-(n-m{)}_{N}k}=\frac{1}{\sqrt{N}}{W}_N^{-mk}\sum _{l=0}^{N-1}{p}_l{W}_N^{-lk}(11)$$

式中，第1个等号利用了性质$W_N^{-(n-m)k}=W_N^{-(n-m{)}_{N}k}$，（以$N$为周期的周期性）。
为进一步计算式（11）的求和项，我们定义$H_k={\sum }_{l=0}^{N-1}{p}_l{W}_N^{-lk}$，即
$$H_k=\sum _{l=0}^{N-1}{p}_l{W}_N^{-lk}=\sum _{l=0}^{N-1}{h}_{(N-l{)}_N}{W}_N^{-lk}=\sum _{l=0}^{N-1}{h}_{(N-l{)}_N}{W}_N^{(N-l{)}_{N}k}=\sum _{l^{\prime }=0}^{N-1}{h}_{l^{\prime }}{W}_N^{l^{\prime }k}(12)$$

式中，第3个等号利用了性质$W_N^{Nk}=1$，$W_N^{(N-l)k}=W_N^{(N-l{)}_{N}k}$。
可以看到，频域信道系数$H_k$恰巧是时域信道系数$h_{l^{\prime }},l^{\prime }=0,1,\dots ,N-1$的傅里叶变换！
（注意$l^{\prime }=L,\dots ,N-1$时$h_{l^{\prime }}=0$），上式可以进一步表示为$H_k={\sum }_{l=0}^{L-1}{h}_l{e}^{-\frac{j2\pi }{N}lk}$。

因此，我们可以得出公式（9）中，频域信道系数与时域信道系数之间的关系，以及验证了时域传输模型（6）和频域传输模型（9）之间的等价性。

参考资料：
CP是如何将多径信道的线性卷积变成循环卷积的？_张力_通信之美_新浪博客
https://blog.51cto.com/u_15127585/2669966
OFDM系统中的信道估计基础知识_逸凌Time的博客-CSDN博客_ofdm信道估计
给“小白”图示讲解OFDM的原理_码懂的博客-CSDN博客_ofdm小白
OFDM系统中的信道估计基础知识_逸凌Time的博客-CSDN博客_ofdm信道估计

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