现代控制理论——状态、状态空间、状态空间描述

article/2025/9/13 0:37:04

一、状态：

动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的数据说明。

对于运动的小车，系统的状态可以为位置和速度，对于电机可以为转速。

二、系统变量

1、状态变量

系统的状态变量，就是指足以完全确定系统运动状态的最小一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，求得这n个独立变量的时间响应，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。（需要注意的是控制输入并非系统的状态变量，对于二阶系统，如小车，其状态变量为位置和速度）

设 $x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)$ 为系统的一组状态变量，则它应该满足下列两个条件：

（1）在任何时刻 $t=t_0$ ，这组变量的值 $x_1(t_0),x_2(t_0),\dots,x_n(t_0)$ 都表示在该时刻的状态

（2）当系统 $t\geqslant t_0$ 的输入和上述初始状态确定以后，状态变量便能完全确定系统在任何 $t\geqslant t_0$ 时刻的行为。

2、状态变量的选取

同一个系统，究竟选取那些变量作为状态变量，这不是唯一的，要紧的是这些状态变量是相互独立的，且其个数等于微分方程的阶数。状态变量的个数应等于系统独立储能元件的个数。

状态变量不一定是物理上可测量或可观测的量，但通常总是选择易于测量的量作为状态变量，因为当系统实现最佳控制规律时，需要反馈所有的状态变量。

三、状态向量：

如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量 $x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)$ 作分量所构成的向量就叫做该系统的状态向量，记作

$x=\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_n(t) \end{bmatrix}$

通过构建状态向量，实际上为将带有物理意义的状态变量转化为n为空间的一个坐标，便于我们观察状态变量随时间的变化规律。

四、状态空间

以状态变量 $x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)$ 为坐标所构成的n维空间，称为状态空间。

系统的任何状态，都可以用状态空间中的一个点来表示。即在特定时刻t状态向量x(t)在状态空间中是一个点。已知初始时刻的 $x(t_0)$ ，就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)在空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。

显然，状态轨线的形状，完全由系统在 $t_0$ 时刻初始状态和 $t\geqslant t_0$ 的输入及系统的动态特性唯一决定的。

五、状态方程

描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

下中，若令 $x_1=y$ ， $x_2=\frac{dy}{dt}$ 即取 $x1,x2$ 为此系统的一组状态变量，则由牛顿第二定律 $M\frac{d^2y}{dt^2}=u-k\frac{dy}{dt}$ 得一阶微分方程组

将得到的方程组转化：

$\begin{bmatrix} \dot{x_1}\\ \dot{x_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 0& -\frac{k}{M} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{M} \end{bmatrix}u$