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一、状态变量及状态空间表达式

1.状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量$x_1\cdots x_n$
2.状态矢量： 以状态变量为分量构成的矢量
$$x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
3.状态空间： 以状态变量为坐标轴构成的n维空间
4.状态方程：描述系统$u$与$x$之间关系的一阶微分方程组
$$\dot{x}=Ax+Bu$$
5.输出方程：描述系统$y$与$x$之间关系的一阶微分方程组
$$y=Cx+Du$$
6.状态空间表达式：$$\dot{x}=Ax+Bu$$$$y=Cx+Du$$
单输入单输出系统：
$$\dot{x}=Ax+bu$$$$y=cx$$
式中$x$为$n\times 1$阵，$A$为$n\times n$阵，$b$为$n\times 1$阵,$c$为$1\times n$阵
多输入多输出系统：
$$\dot{x}=Ax+Bu$$$$y=Cx+Du$$
式中$u$为$r\times 1$阵，$y$为$m\times 1$阵
$A$为$n\times n$阵，$B$为$n\times r$阵，$c$为$m\times n$阵,$D$为$m\times r$阵

二、状态空间表达式模拟结构图

绘制模拟结构图的步骤：
1、选积分器数目等于状态变量数
2、将每个积分器输出选作一个状态变量
3、据方程画加法器和比例器

三、状态空间表达式的建立

1.由系统框图建立

系统框图->模拟结构图->选定状态变量->建立状态空间表达式

2.由系统的机理建立

3.由微分方程或传递函数建立

对于单变量线性定常系统，可以用一个n阶线性常系数微分方程来描述：
$$y^{（n）}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y=b_m{u}^{(m)}+b_{m-1}{u}^{(m-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u$$
相应的传递函数为：
$$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$
(1)当n>m时，传递函数为真分式，状态空间表达式中d=0
(2)当n=m时，长除法，化为整数与真分式之和
$$W(s)=b_m+\frac{N(s)}{D(s)}$$
此时$d=b_m$

3.1能控标准型

1、传递函数中没有零点时
$$y^{（n）}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y=b_{0}u$$
可以直接列写状态空间表达式：

称为能控标准型
2、传递函数中有零点时
$$y^{（n）}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y=b_m{u}^{(m)}+b_{m-1}{u}^{(m-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u$$
状态方程与传递函数无零点的状态方程相同
输出方程不同
当n=m时，输出方程为

当m<n时，输出方程为

3.2能观标准型

式中

四、状态矢量的线性变换

令$x=TZ$
新的状态空间表达式

1.状态空间表达式变换为约当标准型

1、无重根时

2、有重根时

重根对应的特征向量的求法

2.当A为友矩阵时

求变换阵T更方便
1、无重根时
变换阵T为范德蒙德矩阵
2、有重根时
变换阵T为：

3.系统的并联型实现（约当标准型实现）

1、具有互异根
展开成部分分式：

其状态空间表达式如下：

2、具有重根时
假设有三个重根，一个单根
展开成部分分式：

其状态空间表达式如下

五、从状态空间表达式求传递函数矩阵

$\dot{x}=Ax+Bu$
$y=Cx+Du$
拉普拉斯变换
$sX(s)=AX(s)+bU(s)$
$Y=CX(s)+DU(s)$
假定初始条件为0则有
$X(s)=(sI-A{)}^{-1}bU(s)$
$Y(s)=c(sI-A{)}^{-1}bU(s)+dU(s)$
即可求得传递函数矩阵
线性变换不改变系统的传递函数矩阵，同一系统，传递函数阵是唯一的
具有输出反馈的系统如图

其传递函数应等于$$W_1(s)[1+W_2(s)W_1(s){]}^{-1}$$
其中$W_1(s)W_2(s)$分别是前向通道和反馈通道的传递函数