一、前言

这个也是最近我接到的一个小项目里的内容：
有一组数据x、y：

x=[2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019]y=[320	224	335	529	802	1966	3385	4340	4616	4752	4597	4431	4930	5770	5576	5510	5468	6970	6558	6177]

参考文献后发现需要利用这组数据拟合成特定的函数形式：

因此，使用MATLAB中多元非线性回归nlinfit 函数进行自定义函数的拟合，并且绘制出置信度95%下的拟合误差阴影，效果如下：


下面是回归具体拟合过程和置信区间下的误差阴影绘制。

二、nlinfit函数使用

1、函数语法

2、拟合示例：

x=[2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019]；y=[320	224	335	529	802	1966	3385	4340	4616	4752	4597	4431	4930	5770	5576	5510	5468	6970	6558	6177]；
%内联函数创建自定义函数 beta为参数数组
mymodel = inline('beta(1)./(1+exp(-(beta(2)).*(x-beta(3))))','beta','x');
%定义参数初始值
beta0=[500 1 2006];
%进行拟合
[beta,r,J]= nlinfit(x,y,mymodel,beta0);
%打印拟合参数值
fprintf("拟合结果为：K=%f a=%f b=%f\n",vpa(beta(1)),vpa(beta(2)),vpa(beta(3)));

三、误差阴影绘制

%Y是预测值 delta是置信度为95%的拟合误差
[Y,delta]=nlpredci(mymodel,x,beta,r,J);
figure
x=x;
Y=Y';
delta=delta';
%绘制置信区域
fill([x x(end:-1:1)],[Y+delta Y(end:-1:1)-delta(end:-1:1)],[204/255 204/255 204/255],'EdgeColor','none');
hold on
plot(x,y,'ko',x,Y,'k');
xlabel("xx");
ylabel("y");
title("Title")

四、整体源码

x=[2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019]；y=[320	224	335	529	802	1966	3385	4340	4616	4752	4597	4431	4930	5770	5576	5510	5468	6970	6558	6177]；
%内联函数创建自定义函数 beta为参数数组
mymodel = inline('beta(1)./(1+exp(-(beta(2)).*(x-beta(3))))','beta','x');
%定义参数初始值
beta0=[500 1 2006];
%进行拟合
[beta,r,J]= nlinfit(x,y,mymodel,beta0);
%打印拟合参数值
fprintf("拟合结果为：K=%f a=%f b=%f\n",vpa(beta(1)),vpa(beta(2)),vpa(beta(3)));
%Y是预测值 delta是置信度为95%的拟合误差
[Y,delta]=nlpredci(mymodel,x,beta,r,J);
figure
x=x;
Y=Y';
delta=delta';
%绘制置信区域
fill([x x(end:-1:1)],[Y+delta Y(end:-1:1)-delta(end:-1:1)],[204/255 204/255 204/255],'EdgeColor','none');
hold on
plot(x,y,'ko',x,Y,'k');
xlabel("xx");
ylabel("y");
title("Title")

运行结果如前言所示（当然x轴的文字是另外修改的）

五、思考

• 关于自定义函数的拟合：一开始我用的matlab拟合工具箱，拟合结束后发现只能得到拟合参数的值和一些描述拟合结果的误差，不能绘制出来误差阴影图，搜索之后发现多元非线性回归可以实现这个需求，详见【参考博客1】。
• 关于95%置信区间误差阴影绘制：有很多博客写到了多项式拟合以及拟合之后的95%置信区间误差阴影绘制，我对此进行了参考，详见【参考博客2】。
• 关于其余置信区间误差区域计算、绘制例如90%，只需要nlpredci函数中设定’Alpha’,0.1即可。详见MATLAB【help-nlpredc】。

参考博客

1、使用MATLAB进行多元非线性回归——nlinfit函数的使用
2、Matlab绘制带置信区间的拟合曲线

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