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让我们来讨论下，每次摇号你是怎么被当成分母的。
今天北京有2996799人都同时收到了同一条短信，不是降温提醒，但足以让人心凉：“很遗憾，该编码本次摇号未中签。温馨提示：北京摇号资格有效期为6个月，满足摇号条件，过期将自动顺延6个月，可登录官网查看 。”
北京自2010年12月23日起开始施行小客车摇号制度，目的是“实现小客车数量的合理、有序增长，有效缓解交通拥堵状况，降低能源消耗和减少环境污染”，由最初的每月一次，到2014年开始的每两个月一次。每到双数月份的26号，都有无数人等待摇号结果的公布，希望能够成为“北京缓解拥堵网站（www.bjhjyd.gov.cn）”的锦鲤。人们由最开始的翘首期盼，到后来逐渐麻木，表现得像买完彩票又随手扔到抽屉里一样，但每个人都想着有一次重新去翻抽屉的机会。
近两年北京摇号到底是一种什么状态？
2016年至2017年期间，北京普通小客车指标供应数量在年内基本呈稳定状态，但2018年以来指标数量进行了减半。同时注意到的是，参与摇号的人数却越来越多，直到2018年10月第5期，定格到了3003201人，三百多万人来分享6402个指标。
“经审核，截至2018年10月8日24时，普通小客车指标申请个人共有3003201个有效编码、单位共有60980家；新能源小客车指标申请个人共有393014个有效编码、单位共9119有家。”
“本期将配置个人普通小客车指标6402个，单位普通小客车指标266个。”
讨论一下北京摇号的流程
1、每个双数月25日前，工作人员会对摇号池里的所有申请编码进行资格审核，生成符合要求的有效申请编码并且按照一定的规则进行排序，生成准备文件。
2、每个双数月25日，在公证人员的公证下，从审核通过的申请人中随机抽取申请人代表出席配置现场。这群人很重要，因为他们会生成一个随机种子数，按照摇号程序的算法规则，只要这个随机种子一旦选定，那本期的中签人就确定了（因为排好序的准备文件已经事先准备好了）。
3、双数月26日10:00，按照“公开、公平、公正”的原则进行配置。配置现场将在公证人员的公证下，选取申请人代表，操作设备，生成随机种子数，产生配置结果。配置现场对媒体开放，首都之窗负责现场网络直播。
随机抽取申请人生成随机种子数、全程直播、摇号代码程序公开等，这些措施保证了整个过程的作弊空间很小。
刚摇完的好你中签概率有多大？
你是否以为这次摇号你中签的概率是：6402/3003201=0.0021317，这个概率的含义是一千个人中有2.13个人中签，看起来还不错。但遗憾的是，不是这样计算的。来看一下，北京的摇号规则：
第十五条 根据个人参加摇号的累计次数设置阶梯中签率。累计参加摇号6次（含）以内未中签的，中签率为当期基准中签率；累计参加摇号7次至12次未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的2倍；累计参加摇号13次至18次未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的3倍，以此类推。
持有有效残疾人专用小型自动挡载客汽车准驾车型驾驶证（C5）的申请人，累计参加摇号6次（含）以内未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的2倍；累计参加摇号7次至12次未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的3倍；累计参加摇号13次至18次未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的4倍，以此类推。
好吧，原来是设置了阶梯中签率。处于不同阶梯的人，中签的概率是不一样的，那如何根据理解和计算这个阶梯中签率呢？这个阶梯中签在摇号操作中是怎么起作用的呢？再看一条规定：
特别说明：
1、摇号基数序号分配方法：首先，将当期所有审核通过的编码按从小到大的顺序分配序号；然后，第二阶梯及以上的编码按从小到大的顺序，接在后面继续分配序号；再然后，第三阶梯及以上的编码按从小到大的顺序，接在后面继续分配序号；以此类推。因此，高阶梯的编码所对应的多个摇号基数序号是不连号的，当期摇号基数序号总数=第一阶梯人数+第二阶梯人数×2+第三阶梯人数×3……
2、摇号方法：摇号程序从当期所有摇号基数序号中随机抽取中签者，高阶梯的编码对应多个摇号基数序号，于是享受了多倍的中签概率。摇号程序确保高阶梯编码的多个摇号基数序号最多只能摇中一个，当其中一个摇号基数序号中签，该编码即中签。
举个例子来说明吧：
假设某一期摇号池里总共有10个有效编码，分别是000001~000010。其中000001~00003号是基准中签率，000004~000007号为第二阶梯中签率，000008~000010号是第三阶梯中签率。我们先按规则为这10个编码分配序号，分配完序号之后就在有效序号池子里进行随机抽签了。（实际操作过程中，下图“有效编码”列并不是按照编码号排序的，而是按照申请顺序排序）
假设本次摇号的指标数有2个，那我们可以计算基准中签率下的人（不妨叫“第1阶梯摇号者”，以此类推），他们的在例子中的中签率为：
第2阶梯摇号者的中签概率：
第3阶梯摇号者的中签概率：
注：1“摇号程序确保高阶梯编码的多个摇号基数序号最多只能摇中一个”只是在操作层面的事情，不会影响中签概率。2 这里面其实涉及了一个超几何分布，即特定人在摇号中被抽到的次数符合参数为（2,20,n）的超结合分布，n的含义是这个特定人属于第几阶梯摇号者。
举例完毕。
在实际操作中，当然不会有这么简单，因为人数不止这么少，各阶梯分层又比较多。以2018年第5期10月26日这次摇号为例，我们来算一下，这次的中签概率情况。先给一下基本数据（数据来源于“北京缓解拥堵网站”）：
PERSONCOMMON
201805
2018年第05期个人普通小客车指标配置
2018-10-26
2018-10-24 23:40:36
14123942
6402
以上数据6402即为本期指标数，而14123942为有效编码序号总数。我们说过特定人被抽中的编码个数是符合超几何分布的，而超几何分布当N足够大（足够大到10n时就行，而N=14123942≫10X6402）时是近似于二项分布的。
因此本次摇号中，第1阶梯摇号者中签概率为：
这是个什么概念呢？如果你的摇号次数不足6次，那么你本次摇号中签的概率为万分之4.5，相当于从10000个人中挑4.5个人。
同样，第2阶梯摇号者中签概率为：
也就是说，如果你的摇号次数在7-12次，那么你在本次摇号中签的概率为万分之9。
……依次类推，第n阶梯摇号者中签概率为：
我们来算一下一个摇了10年的资深摇号同志，本次摇号中签的概率：
嗯，千分之4.5。
这辈子还有机会摇中吗？
我们来算两个数：
（1）一个人平均多长时间能摇号中签？
这个问题其实就是算一个期望，中签时长的期望。某个人直到第n次摇号才中签的概率为：
所以中签所需的平均摇号次数为：
这个数是多少呢？141.714，对的，一个人平均需要摇号141.714次才能中签，约需283.428个月，23.619年。
（2）一个人有多大可能一辈子也摇不到号？
假设一个人从20岁开始摇号，到60岁结束摇号，总共摇号40年，480个月，240次摇号机会。那么他这一生都无法中签的概率为：
这个数是多少呢？0.1075172，对，你有11%的概率这一生都摇不到号。
总结一下
（1）自2016年以来，摇号指标一直在缩减，而参与摇号的人数却越来越多。
（2）北京摇号的作弊空间应当是很小的。
（3）2018年10月，如果你是第1-6次摇号，那么你本期中签的概率为万分之4.5；如果你是第7-12次摇号，那么你本期中签的概率是万分之9；如果你摇了10年还没摇中，那么你本期中签的概率为千分之4.5。
（4）一个人平均需要摇号141.714次才能中签，约需283.428个月，23.619年。
（5）你有11%的概率这一生都摇号不中，这个概率挺大的。
摇号参拜图收尾：
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附一些计算代码备查：
#第n阶梯摇号者中签概率
1-((14123942-n)/14123942)^6402#摇号次数的期望
F <- 0
for(i in 1:n)
{x <- 1:i-1
K <- ((14123942-ceiling(x/6))/14123942)^6402
F <- F+i*prod(K)*(1-((14123942-ceiling(i/6))/14123942)^6402)
}
F
以上代码，当n趋于无穷时，级数收敛于141.714，操作时n>=650#连续240次摇号不中
x <- 1:240
K <- ((14123942-ceiling(x/6))/14123942)^6402
prod(K)
