1. 算法概述

**\ ELM算法针对的问题是单隐层的前馈神经网络(single-hidden layer feedforward neural networks，SLFNs)，算法特点在于输入层到隐层的权重W和偏差B可以随机设定，隐层激励函数具有无限可微的特征即可(常用的有radial basis、sine、cosine、exponential等函数)，而输出层权重 用回归矩阵的伪逆矩阵 和训练输出值来确定。\ \ 这里的伪逆矩阵又称广义逆矩阵，即Moore-Penrose generalized inverse matrix，对于矩阵A的广义逆矩阵G满足以下表达式：\ \ 当 要是非奇异(满秩)矩阵，广义逆矩阵可以用 来求得 ，如果  是奇异矩阵，则需要用SVD(奇异值分解)来求解。\ 与传统的应用误差梯度下降学习策略的BP神经网络相比，ELM的优点在于学习速度很快，泛化精度高，而且不会陷入局部最小值，可以采用多种激励函数(满足无限可微即可)。而与其他算法相比，例如很火的SVM来说，ELM算法计算速度也更有优势。

以上内容均出自黄光斌老师的论文：

Huang G B, Zhu Q Y, Siew C K. Extreme learning machine: Theory and\ applications[J]. Neurocomputing, 2006, 70(1-3):489-501.

2. 在线学习和离线学习对比

批量学习(Batch Learning)：\ (1) 样本全部同时进入模型；\ (2) 梯度下降的方法容易陷入局部最优；\ (3) 学习并行性，速度快，但耗费存储量大。\ 在线学习(Online Learning)：\ (1) 样本按顺序进入模型，不断修正模型参数；\ (2) 随机性强，不容易陷入局部最优；\ (3) 学习串行性，需要依次迭代速度慢，但耗费存储量小。

非线性函数 ，训练样本和测试样本均为500个，服从均匀分布，训练样本受到噪声干扰，噪声服从 分布，ELM模型输入层到隐层采用RBF函数映射，中心点位置随机选取[-10,10]中100个点，分别使用批量学习和在线学习方法进行测试。对比结果如图1所示，可见在线学习方法精度没有提高，且计算时间较长，但这种方法对于大数据量的情况也能使用。\ 表1 不同学习策略对比结果\

3 ELM 和 OLS_RBF 对比实验

OLS_RBF是正交最小二乘径向基神经网络模型，具体内容参见这篇文章：

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Chen S, Cowan C N, Grant P M. Orthogonal least squares learning algorithm for radial basis function networks.[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 1991, 2(2):302-9.

实验选用复杂的非线性函数，非线性函数 ，训练样本和测试样本均为500个，服从均匀分布，训练样本受到噪声干扰，噪声服从  分布，同样分别用ELM 和 OLS_RBF进行实验，各自重复100次得到结果。

3.1 隐层中心从样本中选择

这种条件下，ELM计算速度快，但精度是比OLSRBF差的，且OLSRBF具有较小的模型结构。

\

3.2 隐层中心由样本范围扩大若干倍数

OLS_RBF的隐层中心由原来的[-1,1]扩大若干倍数(1至2，间隔0.1)。如图2所示，随着隐层中心选取范围的扩大，模型误差MSE总体先下降后上升，在1.5左右最优，而模型结构大小呈现持续降低。\ \ 由于ELM的隐层中心数较多，隐层此次扩大倍数增加，由原来的[-1,1]扩大若干倍数(1至100，间隔1)，而模型结构大小不变，设置为100，结果如图3所示。\

随着隐层中心范围扩大，ELM的误差MSE也是先下降后上升，在10左右取得最优\ 比较两个模型在最优扩大倍数的MSE发现，两者精度几乎一致，都是0.55的水平。因为所测试的倍数范围有限，因此可能模型只获得局部最优。

3.3 样本服从正态分布的情况

之前的实验样本都是服从均匀分布的，现在让样本服从正态分布，x\~N(0,0.3)，对两个模型分别取最优的参数(大概选取)，由于此次实验有误差离群点，因此只从曲线跟踪图像对两者进行对比。如图4，两种模型在数据密集区域(0附近)的精度都比较高，在数据稀疏区域(远离0)精度都较差，对于绝大部分点，两者的预测精度差别不大(ELM略微占优)。

``` **%% 清空环境变量

clc;

clear all

close all

nntwarn off;

%% 数据载入

load data;

a=data;

%% 选取训练数据和测试数据

for i=1:6

p(i,:)=[a(i,:),a(i+1,:),a(i+2,:)];

end

% 训练数据输入

p_train=p(1:5,:);

% 训练数据输出

t_train=a(4:8,:);

% 测试数据输入

p_test=p(6,:);

% 测试数据输出

t_test=a(9,:);

% 为适应网络结构 做转置

ptrain=ptrain';

ttrain=ttrain';

ptest=ptest';

%% 网络的建立和训练

% 利用循环，设置不同的隐藏层神经元个数

nn=[7 11 14 18];

for i=1:4

threshold=[0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1];

% 建立Elman神经网络 隐藏层为nn(i)个神经元

net=newelm(threshold,[nn(i),3],{'tansig','purelin'});

% 设置网络训练参数

net.trainparam.epochs=1000;

net.trainparam.show=20;

% 初始化网络

net=init(net);

% Elman网络训练

net=train(net,ptrain,ttrain);

% 预测数据

y=sim(net,p_test);

% 计算误差

error(i,:)=y'-t_test;

end** ```

三、运行结果

四、备注