离散的一阶微分

离散的一阶微分定义为差分，如二维离散函数 $f(x,y)$ (图像其实就可以看作一种二维离散函数，因为其反映的是不同像素点在x 和 y 轴方向上灰度的变化)在 x 方向上的一阶微分为 :

$\frac{\sigma f}{\sigma x}=f(x+1,y)-f(x,y)$

可简单理解为$f(x,y)$函数在 x 方向上的变化量

离散的二阶微分

类似地，其二阶微分定义为：

$\frac{{\sigma }^{2}f}{\sigma x^2}=[f(x+1,y)-f(x,y)]-[f(x,y)-f(x-1,y)]$

$=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)$

可简单理解为一阶微分的变化的差值，或者一阶微分变化的变化。一阶微分(偏导) 反映灰度变化的快慢，而二阶微分(偏导)反映的是灰度变化曲线频率变化的剧烈程度（突变），很多时候仅有灰度的变化（一阶微分），但并不能证明此处出现了边缘或结构信息，而二阶微分恰恰弥补了这一缺陷。例如：

图片来自于 https://zhuanlan.zhihu.com/p/557371171

上面这张渐变图其实在x 方向上一直都有灰度的变化，但是其上并没有出现所谓边缘信息。

Laplace 算子

拉普拉斯算子的定义式如下:

​ $${\nabla }^{2}f=\frac{{\sigma }^{2}f}{\sigma x^2}+\frac{{\sigma }^{2}f}{\sigma y^2}$$

即 x 方向和 y 方向的二阶微分之和。上式推广到离散领域则为:

x方向:

​ $$\frac{{\sigma }^{2}f}{\sigma x^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)$$

y方向:

​ $$\frac{{\sigma }^{2}f}{\sigma y^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)$$

则

$${\nabla }^{2}f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$$

直观理解，标准的Laplace算子所做的事情其实就是将一个3x3邻域内中心点上下左右的值之和，减去中心值，如上图a 所示。图b,c,d 是该公式的不同拓展。

标准的Laplace算子只对十字方向的像素点进行处理，图b则将其拓展到了对角线领域，因为多考虑了4个点，所以最终公式里的 $-4f(x,y)$ 要变为 $-8f(x,y)$ , 对应到图像就是把中心点从 -4 给替换为 -8 。图 c ,d 则分别为 a ,b 图的相反情况。若中心点的系数为正数，则需要将Laplace算子处理后的图像叠加到原图上，才能看出差别。反之，则从原图减去它。用公式表示如下:

这其实可以这么理解，图a中，中心点为负数，上下左右都是正数，经过Laplace算子处理后 （对应位置相乘再相加），如果中心的上下左右都是有灰度变化的（对应点不为0），那么判定该中心点位于边缘内，那么经此处理后，边缘中心的灰度值会变小，而周围上下左右灰度值不变，因而最后输出的图像中，只有边缘周围上下左右部分的灰度值被保留，而边缘部分则趋于0或等于0 （小于0的部分会被截断为0），因此需要变号 (公式中令c = -1) ，即从原图中减去Laplace算子处理后的图像，使得边缘中心的灰度值变大，而边缘周围的灰度值减少，就表现为原图中的边缘（轮廓）部分被增强了，反之同理。