给定日期（年月日）求星期几（蔡勒公式？没那么简单！）

article/2025/11/11 12:53:51

前言

前几日做到一个机试题，给出一个日期，让你输出那天是星期几，这种题无疑两种思路：一是从今天（前提是知道今天日期及周几）开始推算，计算今天与目标日期差的天数再取模运算，考虑到还要考虑闰年什么的，立即推->用下一种方法；直接利用一个什么公式来计算（问题是这样算起来容易，但公式不好记啊啊啊）。

蔡勒公式

$=(C/4-2C+Y+Y/4+13(M+1)/5+D-1)\%7$

其中 $/$ 为除法运算，结果取整（即商）， $\%$ 为取模运算； $C$ 表示已过世纪数，即本世纪减一,； $Y$ 表示世纪内的年份，即一般是年份的后两位数字； $M$ 代表月份，如果 $M < 2$ ，则加12，并且年份减1（即将某年的1月、2月，看作上一年的13月、14月来带入计算，并且这一步要先于计算 $C$ ）； $D$ 表示日。

$w$ 为 0 时表示星期日，不为0时， $w$ 是几便是星期几。

话不多说，上代码（C++）,代码输入输出格式是按照机试格式要求来的

input:
2
2020 4 8
2000 2 5
output:
3
6

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;
int cen(int y);int main(void)
{int n;int y, m, d;while (cin >> n){for (int i = 0; i < n; i++){cin >> y >> m >> d;if (m < 3){y--;m += 12;}	int y1 = y - cen(y)*100;int w = (y1 + y1/4 + cen(y)/4 - 2*cen(y) + 13*(m+1)/5 + d - 1) % 7;if (0 == w)w = 7;cout << w << endl;}}return 0;
}int cen(int y)	// 已过世纪数
{return y/100;
}

这样好像测试的两个例子都正确，但是真的有这么简单？╮(╯_╰)╭
输入如下测例试试

2006 4 4
2100 12 2

结果

-5
-3

所以问题出在哪呢，enmmm，结果是通过蔡勒公式直接计算出来的，结果为负就说明蔡勒公式的被除数部分 $(C / 4 - 2 C + Y + Y / 4 + 13 (M + 1) / 5 + D - 1)$ 可能为负，然后就涉及到负数取模的问题，，关于负数取模，百度一下就会发现不同的语言实现方法并不相同！

C/C++/Java 采用了 truncate 除法。
-7 % 3 = -7 - (-7) / 3 * 3= -7 - (-2) * 3 = -7 + 6 = -1
python 则采用floor 除法
-7 % 3 = -7 - (-7) / 3 * 3= -7 - (-3) * 3 = -7 + 9 = 2

可以看出两种取模方法根本在于除法是采用向上取整还是向下取整。很明显蔡勒公式中的负数取模方式采用的是向下取整！
这与 C++ 的负数取模方式不同，所以对于负数取模，我们需要进一步处理；

代码更改如下：

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;
int cen(int y);	// 已过世纪数int main(void)
{int n;int y, m, d;while (cin >> n){for (int i = 0; i < n; i++){cin >> y >> m >> d;if (m < 3){y--;m += 12;}	int y1 = y - cen(y)*100;// or y1 = y % 100int w = (y1 + y1/4 + cen(y)/4 - 2*cen(y) + 13*(m+1)/5 + d - 1);if (w < 0)	// 负数取模w = 7 - (-w) % 7;elsew = w % 7;if (0 == w)w = 7;cout << w << endl;}}return 0;
}int cen(int y)	// 已过世纪数
{return y/100;
}

拓展

万年历（公历）

/* 输入日期（年月日），打印本月日历 **/
#include <iostream>
#include <iomanip>using namespace std;
int week(const int y, const int m, const int d);	// 计算一号是周几
void printMon(const int y, const int m, const int d);	// 打印月历
bool isLeap(const int y);	// 判断闰年int main(void)
{int y, m, d;cin >> y >> m >> d;printMon(y, m, d);return 0;
}int week(const int y, const int m, const int d)	// 利用蔡勒公式求星期几
{int y1 = y;int m1 = m;int d1 = d;if (m1 < 3){m1 += 12;y1--;}int cen = y1 / 100;int y2 = y1 % 100;int w = (y2 + y2/4 + cen/4 - 2*cen + 13*(m1+1)/5 + d1 - 1);if (w < 0)	// 负数取模w = 7 - (-w) % 7;elsew = w % 7;if (0 == w)w = 7;return w;
}void printMon(const int y, const int m, const int d)	// 打印月历
{int mon[] = {31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};int day = mon[m-1];int w = week(y, m, d);if (isLeap(y) && 2==m)day++;cout << "Sun  " << "Mon  " << "Tues  " << "Wed  " << "Thur " << "Fri  " << "Sat\n";if (7 == week(y, m, 1)){for (int i = 1; i <= day; i++){cout << setiosflags(ios::right) << setw(3) << i << "  ";if (i % 7 == 0) // 周六后换行cout << endl;}}else{for (int i = 0; i < week(y, m, 1); i++)	// 控制一号前的距离cout << "     ";for (int i = 1; i <= day; i++){cout << setiosflags(ios::right) << setw(3)  << i << "  ";if ((i+week(y, m, 1)) % 7 == 0)	// 周六后换行cout << endl;}}cout << endl;
}bool isLeap(const int y)
{if (y%400==0 || (y%100!=0 && y%4==0))return true;elsereturn false;
}