简介

本文主要是对Harris角点检测的数学公式进行推导，更加深入的掌握原理性的理论知识。

预备知识

椭圆的矩阵方程表示

在高中课本中，我们学习到标准椭圆及其方程（如下图所示）：

其实，矩阵在运算中使用非常广泛，现将上述标准方程写成矩阵形式（方便接下来的处理）：

椭圆半轴与系数矩阵的关系

         一个nxn的矩阵，可以求解其特征值，我们对上述系数矩阵(含a、b)进行求解，则可得到特征值与椭圆半轴(a、b)的关系，过程如下：

泰勒展开

一元函数的泰勒展开式：

二元函数泰勒展开式：

Harris角点检测原理

         Harris算法是利用的窗口内图像灰度的自相关性进行的，设定一个窗口，并在图像中移动，计算移动前与移动后窗口所在区域图像的自相关系数。

自相关函数计算如下，(x,y)为窗口中心位置，w(u,v)为权重（一般取高斯函数），L表示窗口，(u,v)表示窗口中的图像位置：

将近似值代入自相关函数，有：

将平方项展开并写成矩阵形式，有：

回到自相关表达式：

其中，。

        经过上面的数学形式推导，已经得到了自相关函数的表达式。可以看得这也是一个椭圆的矩阵表示形式（非标准椭圆），因此其系数矩阵M的特征值与椭圆的半轴长短有关，这与上面预备知识中的结论一样。

假设M的特征值为λ1、λ2，则分以下三种情况：

通过上面的情况，计算出特征值后就可以判别是否是角点了。

当然，这样计算量非常大，因为图像中的几乎每个点都需要进行一次特征值的计算；下面给出一个经验公式：

detM表示M的行列式，traceM表示M的迹，R表示角点响应值。α为经验常数，一般在0.04至0.06之间取值。

判断准则：当R超过某个设定的阈值时，可认为是角点；反之，则不是。

如此，便可得到一幅图像中的角点了，最后在3x3或5x5的邻域内进行非极大值抑制操作即可。

参考文献

1、HarrisC,Stephens.M—A Combined Corner and Edge Detector[J],1988.

2、王永明、王贵锦，图像局部不变性特征与描述[M],2010.